Doch halt: Baumwurzeln potenzieren und radizieren? Nein – Die Baumwurzel als Basis der Potenz und unter dem Wurzelzeichen in Blau stehen symbolisch für Wurzeln im mathematischen Sinne. Diese können ganz verschiedene Formen haben. Wie das Potenzieren und Radizieren von mathematischen Wurzeln nun funktioniert und welche Rechengesetze es dabei zu beachten gibt, erfährst Du in dieser Erklärung. Show
Wiederholung der Basics – Wurzel, Potenzieren & RadizierenDamit Du Wurzeln potenzieren und radizieren kannst, ist ein grundlegendes Verständnis der drei Begriffe Wurzel, Potenzieren und Radizieren erforderlich. In den folgenden Abschnitten findest Du eine kurze Wiederholung der drei Begriffe. Eine Wurzel in der Mathematik besteht meist aus drei Teilen: dem Wurzelzeichen, dem Wurzelexponenten und dem Radikanden. Die Bezeichnung der einzelnen Teile des Wurzelausdrucks sieht folgendermaßen aus: Abbildung 2: Bezeichnung der WurzelbestandteileEine Wurzel kann auch als Potenz geschrieben werden: Den Ausdruckkannst Du als "n-te Wurzel von a" aussprechen. Bei einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten 2 muss dieser nicht unbedingt hingeschrieben werden:. Ist der Wurzelexponent 2, so handelt es sich um eine Quadratwurzel. PotenzierenDas Potenzieren gehört, wie das Addieren oder Subtrahieren, auch zu den Grundrechenarten. Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrmalige Multiplizieren eines Faktors a mit sich selbst. Der Exponent n gibt an, wie oft dieser Faktor mit sich selbst multipliziert wird. Allgemein gilt beim Potenzieren:
Wenn Du das Thema Potenzieren noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du das in der Erklärung "Potenzieren". RadizierenDas Radizieren gehört auch zu den Grundrechenarten und ist eine Umkehrung des Potenzierens. Radizieren ist das Wurzelziehen. Es gilt die Überlegung: Der Wurzelexponent n ist der Wert, mit dem der Wurzelwert x potenziert werden muss, um den Radikanden a der Wurzel zu erhalten: Bei geraden Wurzelexponenten n muss der Radikand a positiv oder 0 sein. Bei ungeraden Wurzelexponenten n kann der Radikand a auch negativ sein. Auch Wurzeln selbst dürfen potenziert und radiziert werden. Wie das geht, lernst Du in den folgenden Abschnitten kennen. Wurzel potenzieren und radizieren – ÜbersichtDie drei relevanten Begriffe Wurzel, Potenzieren und Radizieren hast Du gerade wiederholt. Alle reellen Zahlen können potenziert werden und alle reellen Zahlen größer gleich der 0 können radiziert werden. Zu den reellen Zahlen zählen auch die Wurzeln selbst, deswegen dürfen diese ebenso potenziert und radiziert werden. Wurzel potenzieren – DefinitionDas Potenzieren von Wurzeln sieht gewissermaßen genauso aus, wie das Potenzieren von anderen reellen Zahlen. Eine potenzierte Wurzel besitzt neben dem Wurzelexponenten n noch einen weiteren Exponenten m, mit dem potenziert wird: Der gesamte Ausdruck ist nun die Basis der Potenz. Jede beliebige Wurzel darf potenziert werden. Wurzeln potenzieren – RechengesetzUm den Exponenten jetzt zu verrechnen, gibt es Rechengesetze, die Du anwenden kannst. Eine Wurzelwird mit einem Exponenten m potenziert, indem der Radikand a der Wurzel mit dem Exponenten m potenziert wird: Da das Radizieren das Gegenteil vom Potenzieren ist, heben sich, wenn der Exponent m dem Wurzelexponent n entspricht, diese auf und das Ergebnis ist der Radikand: Wurzeln potenzieren – BeispielDie Umsetzung des Potenzierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen. Folgende Wurzelpotenzen sollen gelöst werden: Es gilt also wird der Exponent m, in diesem Beispiel 6, unter die Wurzel gezogen und die Basis a, hier 4, zuerst potenziert. Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen: Das Beispiel zeigt, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Danach kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren. Daraus kannst Du dann das Ergebnis berechnen. Wurzeln potenzieren – Umformen in PotenzschreibweiseWurzeln können neben der herkömmlichen Schreibweise auch als Potenz geschrieben werden: . Auch Deine potenzierte Wurzel kannst Du als Potenz schreiben: Dabei ist der Radikand a die Basis und der Exponent eine gebrochen rationale Zahl mit dem Wurzelexponenten n im Nenner und dem Exponenten m im Zähler. Die Potenzschreibweise der Wurzel kann Dir behilflich sein, Wurzeln mit größeren Zahlen auszurechnen. Dafür kannst Du Dir erneut das Beispiel von gerade eben ansehen. Folgende Wurzelpotenzen sollten gelöst werden: Wegen des Rechengesetzes wurde der Exponent m unter die Wurzel gezogen. Um nun schneller und ohne Taschenrechner das Gesamtergebnis der Wurzelpotenz zu berechnen, kannst Du Deine Wurzelin die Potenzschreibweise umschreiben: Nun kannst Du im Exponenten den Bruch kürzen und Dein Ergebnis berechnen: Somit kannst Du das Ergebnis der Wurzelpotenz effizient ohne Taschenrechner lösen. Deshalb ist es manchmal hilfreich, die Wurzel in eine Potenz umzuschreiben. Neben dem Potenzieren ist es ebenso möglich, eine Wurzel selbst zu radizieren. Wurzeln radizieren – DefinitionDas Radizieren von Wurzeln funktioniert genau so, wie das Wurzelziehen von positiven reellen Zahlen. Wenn Du eine Wurzel radizierst, ziehst Du die Wurzel mit dem Wurzelexponenten m aus einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten n und dem Radikanden a. Du erhältst so eine Doppelwurzel. Dabei istder neue Radikand. Da das Ergebnis von Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten n nicht negativ sein kann, darf jede Wurzel mit geraden Wurzelexponenten n radiziert werden. Wenn von Deiner Ursprungswurzel der Radikand a negativ und der Wurzelexponent n ungerade ist, darfst Du nur mit einem ungeraden Wurzelexponenten m radizieren. Wurzeln radizieren – RechengesetzeBeim Radizieren einer Wurzel sind primär die Wurzelexponenten der Wurzeln relevant. Um eine Wurzel zu radizieren, gibt es ebenfalls Rechengesetze, die Du anwenden kannst. Die Wurzelexponenten n und m können beliebig vertauscht werden: Diese Regel kann Dir helfen, radizierte Wurzeln zu vereinfachen. Bei radizierten Wurzeln werden die Wurzelexponenten n und m multipliziert, während der Radikand a unter einem Wurzelzeichen stehen bleibt: Wurzeln radizieren – BeispieleDie Umsetzung des Radizierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen. Folgende Aufgabe soll gelöst werden: Es gilt also werden die Wurzelexponenten n und m miteinander multipliziert. Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen: Das Vertauschen der Wurzelexponenten kann Dir behilflich sein, radizierte Wurzeln ohne ganze Zahlen als Ergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen. Dafür kannst Du Dir ebenfalls ein Beispiel ansehen. Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich ohne Taschenrechner vereinfacht werden: Es gilt also werden die Wurzelexponenten 2 und 3 vertauschen. Damit kannst Du Deine Doppelwurzel vereinfachen: Wurzeln radizieren – Anwendung rückwärtsAngewendet wird das Prinzip des Radizierens von Wurzeln auch rückwärts. Das heißt, der Wurzelexponent wird als ein Produkt aus zwei Zahlen m und n geschrieben, um dann aus der Wurzel eine Doppelwurzel zu machen. Die innere Wurzel wird dann als Erstes aufgelöst. Dies kann Dir dabei helfen, Wurzeln mit hohem Wurzelexponenten zu lösen. Das kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen. Es soll folgende Wurzel gelöst werden: Den Wurzelexponenten 4 kannst Du in das Produktzerlegen: Diese Wurzel kannst Du nun mit der Umkehrung der Regel zum Radizieren von Wurzeln als Doppelwurzel mit den Wurzelexponenten m und n schreiben: Nun kannst Du erst die innere Wurzel lösen. Durch das kleine Einmaleins weißt Du, dass und damit gilt. Damit kannst Du weiter rechnen und erhältst das Ergebnis: Wurzel potenzieren und radizieren Zusammenfassung – UnterschiedRadizieren ist im Prinzip das Gegenteil von Potenzieren. Dies gilt auch für das Potenzieren und Radizieren von Wurzeln. Um den Unterschied zwischen Potenzieren und Radizieren von Wurzeln zu verdeutlichen, kannst Du Dir das Schaubild in Abbildung 3 ansehen. Abbildung 3: Unterschied Wurzel potenzieren und radizierenBeim Radizieren ziehst Du die Wurzelaus einer Wurzelund erhältst eine Doppelwurzel. Beim Potenzieren wird die ursprüngliche Wurzelzur Basis der Potenz mit dem Exponenten m. Wenn Du die Potenz mit der Wurzelals Basis und dem Exponenten m jetzt mit der Wurzelradizierst, erhältst Du wieder die ursprüngliche Wurzel. Umgekehrt, wenn Du die Doppelwurzelmit dem Exponenten m potenzierst, erhältst Du ebenfalls wieder die ursprüngliche Wurzel. Wurzel potenzieren und radizieren – AufgabenMit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen zum Potenzieren und Radizieren von Wurzeln vertiefen. Aufgabe 1 Löse folgende Aufgabe mithilfe der Wurzelgesetze: Lösung Es gilt: Damit kannst Du die Aufgabe lösen: Falls Du keinen Taschenrechner zur Hand hast, kannst Du diese Aufgabe auch mithilfe der Potenzschreibweise lösen: Aufgabe 2 Löse folgende Aufgabe mithilfe der Wurzelgesetze: Lösung Es gilt: Damit kannst Du die Aufgabe lösen: Aufgabe 3 Löse folgende Aufgabe: Lösung Es gilt: Damit kannst Du die Aufgabe lösen: Wenn Du keinen Taschenrechner hast oder die 6. Wurzel aus 64 nicht auswendig kannst, kannst Du einen anderen Lösungsweg anwenden, denn Du kannst auch erst die innere Wurzel ausrechnen: Was macht man wenn Basis und Exponent gleich sind?Potenzen mit gleichem Exponent
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
Wie berechnet man Wurzeln mit Exponenten?Eine Wurzel wird mit einem Exponenten potenziert, indem man den Radikanden mit dem Exponenten potenziert. Da das Wurzelziehen in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens ist, heben sich Wurzelexponent und Exponent auf, wenn sie den gleichen Wert besitzen.
Was ist Basis Potenz?Die Basis ist die erste Zahl einer Potenz. Sie ist die Zahl, um die es sich handelt, also die entsprechend dem Exponent multipliziert wird.
Was ist der Wurzel Exponent?Der Wurzelexponent
Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation zum Quadrieren. Die Kubikwurzel ist die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 3. Die Kubikwurzel kehrt das Potenzieren mit dem Exponenten 3 um: 216 3 = 6 \sqrt[3]{216}=6 3216 =6.
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