Eine Zahl im eigentlichen Sinne enthält meiner Ansicht nach keine mathematischen Operationen. Eine Bruchzahl enthält eine Division und ist für mich damit keine Zahl im eigentlichen Sinn. Show
? Was soll das für ein Argument sein? Wenn man 3 durch 9 teilt kommt das gleiche raus wie wenn man 1 durch 3 teilt, wo also ist dein Einspruch? Jakob Creutzig 2004-01-03 17:00:16 UTC Permalink Post by Christian S Post by Cornelia Wenn du das unendlich oft fortsetzt bleibt ein unendlich kleiner Rest bis zur 10, und unendlich kleine Reste sind 0. Der Gedankensprung ist eher erstmal die Einsicht, dass die im Unterricht (meist nicht wirklich :() definierte Zuordnung |N \times {0,...,9}^|N \to \RR, (d, x_1, x_2, x_3, ...)_{k \in \ZZ} |-> 10^d * 0.x_1x_2x_3.. mit 0.x_1x_2x_3.. := lim_{n \to \oo} 0.x_1x_2..x_n zwar wohldefiniert ist und auch surjektiv, aber nicht injektiv sein muss, und es auch tatsaechlich nicht ist. Meist wird ja auch von "der Zahl 0.x_1x_2.." gesprochen, was dieses Missverstaendnis unterstuetzt. Post by Christian S sondern mit Grenzwerten von Folgen und der Vollstaendigkeit der reellen Zahlen (ohne die man die Wohldefiniertheit wohl nicht beweisen kann, es sei denn, man nimmt obiges als Definition der reellen Zahlen). Best, Jakob Rainer Rosenthal 2004-01-02 19:33:42 UTC Permalink Ich besuche die 6. Schulstufe und habe ein Verständnis- die Frage "warum" ist gut. Deinen Papa kannst Du schön von mir grüssen und sagen, dass er Dir prima gezeigt hat, *dass* es wirklich so ist. Wie weit er Freude daran hat, Deine Suche nach dem "warum" zu begleiten, weiss ich nicht. Und selbst beim Lehrer muss das nicht unbedingt klappen, auch wenn der sich glücklich schätzen dürfte, so eine ernsthafte Frage beantworten zu dürfen. Du suchst ja auch nicht eigentlich eine Antwort auf das Thema "ist 0,999... = 1" sondern, wie Du ja eingangs geschrieben hast, eine Antwort zum Thema Unendlichkeit. Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner man gerne verwendet und den man z.B. auch beim Multiplizieren von "0,3 periodisch" mit 3 herausbekommt. Dabei ist der Ausdruck selbst das eigentliche Geheimnis. Er bezeichnet nämlich diejenige Zahl (und wir wissen schon, dass es die 1 ist), der sich die Folge der Zahlen 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 usw. annähert. Die Mathematik widmet der Betrachtung von Zahlen- folgen einen grossen Raum. Das Zauberwort heisst hier: "konvergente Zahlenfolge". Weil die Zahlenfolge in systematischer Weise durch die Addition von immer kleineren Zusätzen entsteht: s_1 = 0,9 s_2 = s_1 + 0,09 s_3 = s_2 + 0,009 usw. spricht man auch von einer "konvergenten Reihe", die man auch in Kurzform so geschrieben sieht: 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... oder 9/10^1 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... oder gar mit dem schönen oo ----------- \ 9 \ \ ---------------- / / k / 10 / ------------ k = 1 Summenzeichen, dem man die Grenzen 1 und Unendlich(!) mitgibt. (In ASCII-Text sieht die liegende Acht des Unendlichzeichens nicht so toll aus, aber immerhin: da hast Du wieder Dein Unendlich. Das ist aber nur eine *Schreibweise*, der Index k selbst bleibt immer schön endlich. Wieder was, was Aberdutzende nicht wahrhaben wollen, was Du aber sicher gerne verstehen wollen wirst). Dein Appetit auf "Unendlich" wird eher gestillt dadurch, dass Du z.B. in der Stadtbibliothek (oder evtl. in der Schulbibliothek) schaust, was es da an Interessantem gibt, als dass Du Dich stur auf "0,9 periodisch" versteifst. Nimm' Dein Staunen zum Anlass, genauer hinzuschauen, aber nimm Dir die Leute als abschreckendes Beispiel, die seit Jahr und Tag immer von neuem losheulen, dass sie das nicht gebacken kriegen :-) Die Newsgroups sind voll von diesem Thema, echt! Das Standardbeispiel, das viel weiter führt beim Nachdenken über "Unendlich", ist 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... oo ----------- \ \ 1 \ / ------------- / / k / ------------ k = 1 Gott segne Dich Gruss, Rainer Rosenthal ***@web.de Hermann Kremer 2004-01-02 19:46:22 UTC Permalink Cornelia schrieb in Nachricht <news:***@usenet04.wrgym.uni.cc>...Hallo Cornelia Post by Cornelia Post by Cornelia Unterschied ist exakt gleich Null. Post by Cornelia Post by Cornelia ist aber immer so eine Sache - ich kann mir z.B. _nicht_ vorstellen, daß es _nicht_ so sein könnte ;-) Kannst Du Dir vorstellen, daß 0,3 period = 1/3 ist? Falls ja, dann multipliziere mal beide Seiten dieser Gleichung mit 3 ... Mathematisch ist 0,9p eine andere Schreibweise für die sog. geometrische Reihe s = (9/10)*( 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ..... ) mit unendlich vielen Gliedern, und die Mathematiker bezeichnen die Summation solcher unendlicher Reihen als Grenzwert-Bildung. Der Grenzwert von 1 + 1/10 + 1/100 + ... ist aber gerade gleich 1/(1 - 1/10) = 1/(9/10) = 10/9, und damit ist s = (9/10)*(10/9) = 1. Grüße Hermann -- Post by Cornelia Helmut Richter 2004-01-02 20:05:25 UTC Permalink Post by Cornelia z.B. der vom Papa, den ich der Kürze halber rauslasse. Oder der: 1/3 ist 0,333..., das Dreifache davon ist doch 0,999... . Post by Cornelia ungenau. 0,11 ist weniger als 1/9, 0,11111 ist weniger als 1/9, 0,11111111111111111 ist weniger als 1/9, erst mit allen unendlich vielen Stellen, die ich hier nicht alle hinschreibe, ist es 1/9, aber dann auch wirklich und nicht nur ungefähr. Das scheint niemandem etwas auszumachen. Aber dieselben Leute, die da keine Probleme damit haben, finden es auf einmal völlig unverständlich, wenn man ganz genau dasselbe mit der 1 macht: 0,99 ist weniger als 1, 0,99999 ist weniger als 1, 0,99999999999999999 ist weniger als 1, erst mit allen unendlich vielen Stellen, die ich hier nicht alle hinschreibe, ist es 1, aber dann auch wirklich und nicht nur ungefähr. Es ist wirklich ganz genau dasselbe. (Sowas nennt man einen Grenzwert, aber das lernt ihr erst später.) Post by Cornelia sondern auf die Definition. Jeder Mathematiker stellt sich irgend etwas vor, aber sie haben gelernt, dass man sich auf die Vorstellung nicht verlassen kann. Kannst du dir vorstellen, dass ein Quadrat genausoviele Punkte enthält wie eine Strecke? Kann sich eigentlich keiner. Aber man kann den Begriff "genausoviel" definieren (jedem Punkt des Quadrats wird ein Punkt der Strecke so zugeordnet, dass alle Punkte der Strecke verwendet werden, aber keiner mehr als einmal) und sieht dann, dass es genausoviele sind. Hier aber spielt einem eigentlich die Vorstellung keinen Streich. Der Wert des unendlichen Dezimalbruchs ist der Wert, wo sich die abbrechenden Näherungsbrüche häufen, nicht ein Wert, den einer von ihnen schon erreicht. Ist doch recht einleuchtend. Post by Cornelia sich keiner so recht etwas vorstellen; deswegen sollte man das Wort nur ganz vorsichtig verwenden, nachdem man es in einem bestimmten Zusammenhang definiert hat. Den Wert eines unendlichen Dezimalbruchs kann man definieren als Grenzwert der abbrechenden endlichen Dezimalbrüche, dann haben die beiden 1,000... und 0,999... zwar verschiedene Werte der abbrechenden, aber denselben Grenzwert. Ein paar andere Unendlichkeitsbegriffe gibt es auch noch: eine Menge ist als "unendlich groß" definiert, wenn sie eine echte Teilmenge (also eine Teilmenge außer sich selbst) hat, die genausoviel Elemente hat (im obigen Sinne) wie sie selbst. Wer "unendlich" sagt, ohne es zu definieren, verlässt sich auf die Vorstellung, und die ist sehr trügerisch. Mit deinem "unendlich klein" machst du das. Andere Leute machen das mit solchen Sätzen wie "parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen": glaube diesen Schwätzern kein Wort, bis sie dir eine Definition des "Unendlichen" vorlegen können. Im übrigen ist es *meistens* kein Fehler, sich unter etwas unendlich Kleinem wirklich etwas vorzustellen, was genau Null ist. Aber das ist nur eine Vorstellung, die auch trügerisch sein kann, und die dann, wenn sie wie hier zutrifft, einer ordentlichen Definition bedarf. Mathematik besteht nicht aus Vorstellungen, sondern aus Sätzen, die aus Definitionen folgen und bewiesen werden. Helmut Richter Rainer Rosenthal 2004-01-03 07:40:22 UTC Permalink Gastfreund aus KorinthPost by Gastfreund aus Korinth noch witzig vorkommt. (Ich bin ein verrücktes Huhn.) Post by Gastfreund aus Korinth Das war der mit "wenn A = B und B = C, dann A = C". Also ist da nicht wirklich ein Unterschied. Post by Gastfreund aus Korinth ins Grübeln geraten. Und weil der Lehrer ferienhalber nicht erreichbar ist, hat sie schon mal praktische und richtige Antwort von ihrem lieben Papi gekriegt. Und - o Freude - sie hat Appetit auf mehr. Na ist es nicht prächtig? Leute in der sechsten Klasse sind achttausend mal pfiffiger als es ältere Leute je werden können. Gruss, Rainer Rosenthal ***@web.de Gastfreund aus Korinth 2004-01-03 09:27:26 UTC Permalink Ja, es war ein spontaner Einfall, der mir auch jetzt noch witzig vorkommt. Es gibt meines Wissens genau einen Gleichheitsbegriff. Das war der mit Das Pluszeichen wird quasi überladen. Es ist für einen Anfänger natürlich sehr verwirrend, wenn jemand sagt, 0,999.. = 1, denn er kann die beiden Bedeutungen des Pluszeichens nicht trennen. (Trotzdem sagen wir das so und das mit gutem Grund, denn die Bezeichnungen sind nicht so gewählt, daß sie für Anfänger verständlich sind. Das ist in der Mathematik allgemein so.) Post by Gastfreund aus Korinth geraten. Und weil der Lehrer ferienhalber nicht erreichbar ist, hat sie schon mal praktische und richtige Antwort von ihrem lieben Papi gekriegt. Und - o Freude - sie hat Appetit auf mehr. Na ist es nicht prächtig? Da Problem war, daß ich genau zugehört habe. Zuerst ist der Ausdruck "Schulstufe" in Deutschland (oder nur in Bayern?) ungebräuchlich. Wir sagen Klassenstufe. Unter "Schulstufe" würden wir eher den Schultyp verstehen. Die Uni wäre dann "tertiär". Es ist aber auch sicher, daß ein Schüler, und sei er eben Abiturient, nicht so souverän formulieren kann, wie der OP. (Schüler aus der sechsten Klasse können das erst recht nicht.) Es ist offensichtlich, daß es sich nicht um eine Schülerin aus einer sechsten Klasse handeln konnte und somit war die ganze Geschichte, mit der sie ihre Frage begründete, zweifelhaft. Ich wußte also, daß jemand aus ganz anderen Gründen fragte und gab eine richtige Antwort. Für den Fall, daß ein Lehrer wissen wollte, wie man dieses Problem behandelt, schloß ich mit meinem Hinweis für Lehrer. (Ich nahm an, der OP war eine Art Troll, aber das spielt keine Rolle. Wie ein ungarischer König sagte: De Trollen, quae non sunt, nulla fiat mentio. Man beachte die kunstvolle (deutsche) Deklination des Wortes Troll.) GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Al Bogner 2004-01-03 14:49:40 UTC Permalink Gastfreund aus Korinth wrote:So, jetzt antworte ich dir mal als Papa, der sich gerade über Unterstellungen ärgert. Post by Gastfreund aus Korinth Post by Gastfreund aus Korinth normalerweise, dass nicht nur in Deutschland Deutsch gesprochen wird. Post by Gastfreund aus Korinth empfehle ich dir vorher etwas zu recherchieren. Wenn es mich interessiert, weiß ich in < 1 Sekunde den NNTP-Posting-Host und wenn der als IP-Adresse angegeben ist, dann hilft "man whois" [1] Der Schluß, dass die Schule auch in dem Land ist, aus dem gesendet wurde, ist nicht gerade unwahrscheinlich. Ein Blick auf die email-Adresse verrät dir mit ein bißchen Fantasie noch mehr. Es postet ja nicht jeder mit gefälschtem Absender. Bist du Stefan Busse oder von Stefan Busse autorisiert die Domain nirgendwo.de zu benutzen? Wenn nicht, tust du Illegales und dann mach dir mal darüber Gedanken, dass es auch andere Wege gibt, emails bouncen zu lassen. (zB "man" blackhole) Danke für das Kompliment bzgl. der Formulierung, da wird sie sich morgen freuen, wenn wir das Thema weiter besprechen. Natürlich schrieb sie das Posting nicht so nebenbei und wurde letztlich von mir kontrolliert. Ich finde aber, dass Kinder lernen sollen, wie man das Internet, speziell das Usenet, nützt und daher riet ich ihr zu diesem Posting. Bei den Antworten waren aus meiner Sicht für Kinder ganz verständliche Ansätze dabei. Ein Feedback von ihr wird folgen. Es fing eigentlich ganz harmlos an. Sie rechnete periodische Zahlen in Brüche um und formulierte selbst Beispiele und da war dann 0,9 periodisch dabei und dann ging die Fragerei los, bis ich nicht mehr weiter wußte. Nun habe ich eben keine Erfahrung als Mathematilehrer und kann eventuell dem Alter entsprechend nicht gut genug erklären. Eines aber verlange ich bei ihr bei Fragen, man muß eine Frage möglichst genau formulieren und vorher intensiv darüber nachdenken, was man versteht und was man nicht versteht. "Ich kenne mich nicht aus" gilt nicht als Frage und daher wurde die Problematik dann offensichtlich nach der _ausführlichen_ Diskussion mit mir ganz gut formuliert. Ich verheimliche aber nicht, dass sie es trotzdem immer wieder probiert, eine Antwort auf "ich kenn mich nicht aus" zu erhalten. IMO ist das ein schönes Beispiel für ein Kind, um zu zeigen, dass Mathematik mehr ist also nur "doofes" Rechnen, dass ein PC/Taschenrechner sowieso besser und schneller kann. Post by Gastfreund aus Korinth Post by Gastfreund aus Korinth Post by Gastfreund aus Korinth Mathematiklehrers zu unterstellen. Post by Gastfreund aus Korinth ich vielleicht wieder in Erklärungsnot. Al [1] zur Erklärung für die Windows-Nutzer: http://www.rt.com/man/whois.1.html Michael Lange 2004-01-03 15:17:37 UTC Permalink Hallo Al,Al Bogner schrieb: [...] Post by Al Bogner findet, die so denken. Post by Al Bogner sein/spielen dürfen. Damit wird vielleicht das Bild zurecht gerückt, dass die Mathematik auf alles stets DIE richtige Antwort hat. Je früher ein Kind lernt, dass jeder Mensch mathematische Grenzen hat, desto einfacher wird es für sie, die ihre zu akzeptieren und nicht daran zu verzweifeln. Post by Al Bogner Du Dir denken könntest. Respekt. Hauptsache, Deine Einstellung führt nicht dazu, dass ihre Neugier nachlässt. Mfg Michael (der demnächst wieder in dieser Klassenstufe unterrichten wird) Gastfreund aus Korinth 2004-01-03 22:04:31 UTC Permalink Danke für das Kompliment bzgl. der Formulierung, da wird sie sich morgen Klasse bedeutet, d.h. ein Kind im Alter von 12 jahren. Ich habe eine reichhaltige Unterrichtserfahrung und bin *sicher*, daß das OP nicht von einem zwölfjährigen Kind stammt. Danach habe ich vermutet, daß sich jemand, der diese NG kennt, sich einen Spaß erlaubt hatte. Auch das wäre nicht schlecht und ich konnte das in der Tat nur vermuten. Ich habe nicht gesagt, daß ich mir da sicher war, denn genau so gut kann die Geschichte auch wahr sein (nur daß der Vater das OP schrieb). Ich Deine Sache. Bei den Antworten ist (wörtlich gemeint, sehr gut reicht nicht) zu abstrakt und kompliziert. Eine einigermaßen korrekte Erklärung kann nur auf der Basis der Theorie der reellen Zahlen und der Grenzwerte gegeben werden. Die "Verständlichkeit" eines Ansatzes besagt nichts über ihren mathematischen Wert aus oder darüber, ob sie nach heutigen Standards korrekt ist. Der Ansatz x = 0,999... 10x = 9,99... usw. ist mathematisch nicht korrekt, obwohl es zum richtigen Ergebnis führt. Nicht korrekt bedeutet, daß man begründen müßte, warum die vorgenommenen Manipulationen mit unendlichen Reihen richtig sind. Wenn nun dieser Ansatz an sich nützlich wäre, wäre nichts dagegen einzuwenden. Aber die Umrechnung von 0,777... in 7/9 besitzt keine Anwendung. Trotzdem kann man sie machen, aber aus ihr folgt zunächst mal in mathematisch strengem Sinne nichts. Es fing eigentlich ganz harmlos an. Sie rechnete periodische Zahlen in man in einer solchen Situation? Entweder gibt man eine unvollständige oder inkorrekte Antwort oder aber sagt, "warte bis Du mathematisch reifer bist", was auch eine sehr schlechte Lösung ist. Nun habe ich eben keine Erfahrung als Mathematilehrer und kann eventuell Eines aber verlange ich bei ihr bei Fragen, man muß eine Frage möglichst rechnen können. Rechnen ist nicht an sich doof, sondern sehr notwendig. Kinder sollen also rechnen können und etwas Prozentrechnung uns Dreisatzrechnungen beherrschen (in dieser Klassenstufe). Wenn man zu viel will, verunsichert man die Kinder und sie werden auch die einfachen Dinge nicht mehr wissenm die sie einst verstanden. Ich glaube, das nennt man in der Pädagogik Regression. (ich hatte die Gelgenheit, vier aufeinanderfolgende Lehrpläne in Bayern zu betrachten und sah, wie sie immer mehr Schwachsinn eliminiert haben, aber es bleibt immer noch genug. (Ich erinnere mich, daß man früher die Geometrie in der 9. Klasse mit "inkommensurablen Strecken" anfing, was immer das sei. Das war so herrlich wissechsftlich! Post by Gastfreund aus Korinth Post by Gastfreund aus Korinth Post by Gastfreund aus Korinth zu unterstellen. Da hast Du Recht. Ich war ungenau. Die Geschichte könnte stimmen, nur das OP stammt nicht von einem Kind. Wenn das Posting von Dir aufgesetzt wurde, ist das an sich in Ordnung. (Auch für einen Erwachsenen hast Du klar und gut formuliert. Ich vermute, daß Du einen tertiären Schulabschluß hast.) GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Gastfreund aus Korinth 2004-01-05 09:15:24 UTC Permalink Post by Jens Voss Post by Gastfreund aus Korinth Tatsache 0,999... = 1 (die ich übrigens ebenfalls in der 6. Klasse (Niedersachsen, Orientierungsstufe) beigebracht bekommen habe), für sehr wichtig gehalten für das Verständnis über Gleichheiten und Ungleichheiten von Zahlen. Was mir damals sehr geholfen hat, war die Anmerkung des Referendars, dass es für eine Zahl mehrere Notationen geben kann, so wie z.B. auch 1/2 = 3/6 ist. Die Konsequenz, dass die Darstellung reeller Zahlen durch unendliche Dezimalbrüche nicht eindeutig ist, habe ich erst dadurch richtig verinnerlicht. Es ist mir klar, daß man ein Kind davon überzeugen kann. Aber wie wir in diesem Thread sehen, haben selbst Erwachsene Schwierigkeiten mit den Feinheiten. Um das mal hart zu sagen: Der nette Referandar, der Dich überzeugte, hat Dich (streng mathematische gesehen) mit den falschen Argumenten überzeugt und das eigentliche Problem ausgeklammert. GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Helmut Richter 2004-01-03 11:39:31 UTC Permalink Post by Rainer Rosenthal für dich nur ein Drittel der Definition ist, weil du Symmetrie und Reflexivität auch noch meintest und nur der Kürze halber nicht hinschriebest, hättest du Äquivalenz, aber immer noch keine Gleichheit. Die geht anders, und so weit ich weiß nicht mit endlich vielen Formeln. Post by Rainer Rosenthal man beweisen, dass 1/2+1/2=1. Solange man noch dabei ist, die unendlichen Dezimalbrüche zu definieren, hat man noch die Freiheit, festzulegen, ob 0,999... = 1,000... werden soll. Dabei wird sich herausstellen, dass es zwei Möglichkeiten gibt: a) 0,999... = 1,000 und man muss sich damit abfinden, dass es ein paar Zahlen gibt, die sich auf mehr als eine Weise als Dezimalbruch darstellen lassen, nämlich genau die Brüche, deren Nenner keinen Teiler außer 2 und 5 haben. Na und? Bei der Definition der negativen Zahlen findet man sich ja auch damit ab, dass die 0 keine eindeutige Darstellung hat, sondern als +0 oder als -0 geschrieben werden kann. b) 0,999... != 1,000 (soll heißen ungleich) und man muss sich damit abfinden, dass das so Definierte keinerlei irgendwie brauchbaren Rechengesetzen gehorcht; z.B. ist 1/3*3 nicht 1. Auch zu sonst irgendetwas ist es nicht gut - jedenfalls hat noch keiner eine Anwendung dafür gefunden. Mna hat sich selbstverständlich für (a) entschieden, aber eine Entscheidung war es doch. (Vielleicht war sie so selbstverständlich, dass es keiner gemerkt hat, dass es eine war.) Helmut Richter Rainer Rosenthal 2004-01-04 15:07:20 UTC Permalink Helmut RichterPost by Helmut Richter Post by Rainer Rosenthal Es war einfach die formelmässige Darstellung des wunder- schön fliessenden Satzes Sind zwei Grössen einer dritten gleich, dann sind sie untereinander gleich. Ein Klassiker! Hermann Kremer wüsste bestimmt auch frühe Quellen. So einen Thread wie diesen hatten wir bisher, glaube ich, noch nicht. Ich finde es prima, dass der Vater seine Tochter ermuntert hat, weiter nachzufragen bei Leuten, die sich auskennen sollten. Die Antworten von GaK sind mir so unglaublich zuwider wie seinerzeit die von JB. Ist wahrscheinlich kein Zufall ... Auch der Grüne Bettvorleger fällt mir da gerade noch ein. Ich habe in keine Header oder was geschaut. Ich mutmasse da nur nach Gefühl. Hier ist noch so 'ne (selbst erlebte) Lehrer-Story: Wir mussten Logarithmen immer mit einem Punkt schreiben, im Unterschied zu den "richtigen Zahlen", die mit einem Komma zu schreiben waren. Ja: Wir haben GELERNT, dass Logarithmen eben keine richtigen Zahlen seien. *grusel* Gruss und auf hoffentlich gedeihliches Miteinander in 2004 Rainer Rosenthal ***@web.de Gastfreund aus Korinth 2004-01-06 12:52:26 UTC Permalink Interessant, dass das angesprochen wird. Ich habe in meinem mathematischen 0,10110111011110... ein solcher. Nachdem alles richtig definiert ist, stellt dieser Dezimalbruch auch eine reelle Zahl dar, wie man das sagt. Das bedeutet, daß die zughörige Reihe einen Grenzwert in R besitzt. nämclih die dargestellte sein. Was eine "virtuelle Existenz" ist, weiß ich nicht, daß ist kein mathematischer Begriff. Auch diese "harmlose" Frage kam von meiner Tochter aufgrund ist. (Wenn Du Division mit Rest durchführst, entstehen Reste, aber alle reste müssen kleiner sein als 161, so daß nur endlich viele solche reste existieren können. Nach endlich vielen Schritten wird sich also ein Rest wiederholen und die Periode setzt ein.) Meine Empfehlung war dann pragmatisch, dass sie einfach 5 Nachkommastellen Das GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Gastfreund aus Korinth 2004-01-06 01:09:01 UTC Permalink Post by Axel Schwenke Post by Gastfreund aus Korinth "guten Gründe" interessieren. Post by Gastfreund aus Korinth Ist 0,777... eine abkürzende Schreibweise für 1/7? Immerhin besteht 1/7 aus drei Zeichen, 0,777... mindestens aus vier. Post by Axel Schwenke Nenner. Es wäre sehr ungewöhnlich, vorher ihre Dezimalbruchdarstellungen zu berechnen, aber man könnte das auch tun. Ob das praktisch ist, sollte jeder für sich selber entscheiden. Post by Axel Schwenke periodischen Dezimalbrüchen rechnet. Aber wozu? (Die gängigen CAS können das wohl nicht.) Computer können sehr einfach mit wirklichen Brüchen rechnen und manche Programmiersprachen bieten das sogar als standard an (z.B. CL). Post by Axel Schwenke Einsichten (obwohl ich mich nicht mit ihnen auskenne) aber formal-periodische Dezimalbrüche (um mal eine neue Benennung zu erfinden) scheinen mir nichts zu bringen. Ich habe so etwas auch in der Literatur noch nie gesehen. Aber es ist klar, das man das machen kann. GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Axel Schwenke 2004-01-06 11:03:06 UTC Permalink Post by Gastfreund aus Korinth Post by Axel Schwenke Post by Gastfreund aus Korinth "guten Gründe" interessieren. Post by Gastfreund aus Korinth Ist 0,777... eine abkürzende Schreibweise für 1/7? Immerhin besteht 1/7 aus drei Zeichen, 0,777... mindestens aus vier. Du stellst dich dumm, oder? Der Dezimalbruch _________ 0.abc...xyz (Periodenlänge sei n) ist eine abkürzende Schreibweise für abc...xyz --------- 10^n - 1 Post by Gastfreund aus Korinth Post by Axel Schwenke Nenner. Es wäre sehr ungewöhnlich, vorher ihre Dezimalbruchdarstellungen zu berechnen, aber man könnte das auch tun. Du stellst dich dumm, oder? Wenn man zwei periodische Dezimalbrüche hat, ist es einfacher sie Stelle für Stelle zu vergleichen, statt sie in obige Form zu überführen und dann auf den Hauptnenner zu bringen. Auch sonst: Dezimalbruch, gemeiner Bruch, Kettenbruch sind lediglich verschiedene Darstellungen der selben Objekte (rationale Zahlen, Kettenbrüche können auch irrationale Zahlen darstellen). Welche Darstellung man wählt, hängt von der zu lösenden Aufgabe ab. XL -- Rainer Rosenthal 2004-01-02 21:56:39 UTC Permalink Post by Uwe Schmitt Konstruktion nicht möglich ist. Die genannte Eigenschaft, die Du zum Beweis heranziehst, ist so wichtig, dass die reellen Zahlen den Orden "archimedisch angeordnet" angeheftet bekommen haben. Zu jeder noch so kleinen Zahl a > 0 gibt es eine natürliche Zahl n, so dass n*a grösser ist als 1. Das heisst also: genügend viele kleine Etwasse aneinander gelegt geben was Grosses. Der Name rührt wohl daher, dass dies Eigenschaft die Basis der sog. Exhaustionsmethode von Archimedes ist, der mit vielen kleinen Etwassen die grossen Figuren auszumessen in der Lage war. Solches wäre aber noch Internet-historisch auszufeilen ... Sollte ich da schon was in meiner Archimedes-Partition auf der Festplatte haben? Wenn nein, dann freue ich mich schon darauf: Jutta? Hermann? Gruss, Rainer Rosenthal ***@web.de Michael Lange 2004-01-02 20:41:10 UTC Permalink Hallo Cornelia,es gab ja schon einige postings, darunter auch wirklich gute (egal für welche Klassenstufe). Ich würde dennoch gerne insbesondere die Antwort von Hermann ergänzen. Du schriebst: [...] Post by Cornelia d.h. eine Differenz, die nicht verschwindet, dann musst Du die doch ausdrücken können. Also sag mal, welche Zahl sich aus 1-0,[9] ergibt (die eckigen Klamern mögen mal die Periode symbolisieren)! Du wirst wohl mit mir einer Meinung sein, dass 0,[9] unmöglich größer sein kann als 1. Ich denke wohl, dass man leicht über die Zahl vor dem Komma argumentieren kann! Jetzt kommt das "kleiner sein": Dazu muss man sich wohl fragen, wie groß die Differenz 1-0,[9] höchstens ist. Dir sollte klar sein, dass die Differenz HÖCHSTENS 1 ist, mehr geht nicht. Das wäre im übrigen genau dann der Fall, wenn man von den unendlich vielen Neunen keine einzige als anwesend betrachtet. Bedenkst Du aber, dass ja mindestens eine 9 geschrieben steht, kommst Du darauf, dass die Differenz 1-0,[9] "höchstens" 0,1 sein kann. Nun gut, aber es steht ja nicht nur eine 1 da, sondern mindestens 2. Betrachtest Du nur zwei, so ist die Differnenz eben 0,01. Aber eigentlich sind ja noch mehr da. Bei drei Neunen wäre der Unterschied nur noch 0,001. Du siehst, dass die Differenz also sehr klein wird sein muss, oder mit Deinen Worten "unendlich" klein. Aber wieviel ist unendlich klein? Mach Dir mal Gedanken darüber, indem Du die Reihe fortsetzt: 1 0,1 0,01 0,001 ... Oft kommt jetzt die Antwort: eine Zahl, die folgendermaßen aufgebaut ist: Sie fängt mit "0," an, hat unendlich viele Nullen und "am Ende" eine 1. Da würd ich sagen, Hut ab, hört sich schon gut an. Nur die eine Frage noch: Wie soll ich denn die 1 "am Ende" finden, wenn doch die eben beschriebene Zahl gar kein Ende hat, sondern nur "unendlich" viele Nullen nach dem Komma? Und jetzt kommt Hermann: Der sagt, der Unterschied sei Null. Kannst Du Dir das jetzt erklären? Post by Cornelia Schule lernen. Bedenke, es gibt mindestens zwei Stufen des Verstehens: 1. Begreifen, wie man etwas macht. 2. Erklären können, warum das auch funktioniert, was man da macht. Gib Dich nie mit der ersten Stufe zufrieden. Frage immer (!) nach der zweiten. Gute Lehrer haben auch darauf immer eine Antwort. Manchmal ist die schwierig zu verstehen, aber wenn DU immer weiter (Dich selbst) nach dem "Warum?" fragst, wirst Du auch bestimmt die schwierigen Antworten verstehen lernen! Übrigens ist die Antwort nach dem "Warum" Deiner Frage keineswegs einfach. Sie schließt an das Themengebiet an, das Untersucht, welches denn die nächst größere Zahl nach der Null ist. Und hüte Dich davor, sie mit 0,[0]1 zu betiteln (also diejenige Zahl, die mit "0," beginnt, unendlich viele Nullen hat, am Ende eine 1). Diese Zahl ist interessanterweise eben gleich 0, sofern es sie gibt. So, ich hoffe Dich nicht völlig verwirrt zu haben und wünsche (nicht nur Dir) ein schönnes neues Jahr. Mfg Michael Jens Hansen 2004-01-03 08:56:00 UTC Permalink Post by Manfred Hauser größer 0 von 1. Post by Manfred Hauser gleich 1 ist. Dein Problem ist, dass du schon implizit Konvergenz betrachtest. Grüsse Jens Manfred Hauser 2004-01-03 09:34:39 UTC Permalink Post by Jens Hansen Post by Manfred Hauser größer 0 von 1. ja, natürlich ist der Abstand immer Größer als 0, aber um mit den Worten von Michael zu argumentieren Post by Jens Hansen Post by Manfred Hauser gleich 1 ist. Dein Problem ist, dass du schon implizit Konvergenz betrachtest. das Argument laß ich jetzt mal nicht gelten, denn z.B. Rainer Rosenthal bringt ein sehr schönes Beispiel über konvergente Reihen, da hast Du ja auch kein Problem damit, daß wenn man das unendlich fortsetzt (also das Beispiel 0,9+0,09+...) auf 1 kommt, obwohl man sich im Grunde nur immer weiter annähert. Genau dasselbe führe ich mit meiner gegebenen Funktion durch, ich addier auf den "aktuellen" Funktionswert immer einen der Summanden aus der oben genannten konvergenten Reihe drauf (Du darfst Dir sogar jedes mal aussuchen, welchen Du möchtest, aber bitte jeden nur einmal ;). Schöne Grüße, Manfred Michael Lange 2004-01-03 10:16:21 UTC Permalink Hallo Manfred,Post by Manfred Hauser Post by Jens Hansen Post by Manfred Hauser größer 0 von 1. ja, natürlich ist der Abstand immer Größer als 0, aber um mit den Worten von Michael zu argumentieren Post by Jens Hansen Post by Manfred Hauser Da Du mich ausdrücklich zitierst, möchte ich Dir den mathematischen Teil noch einmal vor Augen führen. Gemeinsam ist tatsächlich beiden, dass man das ganze mit Grenzwertbetrachtung angehen kann. Unterschiedlich ist bei beiden, dass man es bei 0,[9] = 1 nicht "muss". Mein Argument ist recht einfach, ich "beweise", dass in "jeder" eps-Umgebung von 1 auch die 0,[9] liegt. In Jeder, egal wie klein das eps > 0 gewählt wurde. Generalisierung drüber: Der Abstand ist kleiner als jedes positive eps, muss also das Infimum eben all dieser positiven eps sein, und das ist Null. Jetzt ein bisschen Topologie: Hat x von der Menge A den Abstand 0, so liegt x auf dem Rand von A. Da A={1] in diesem Fall selbst nur aus isolierten Punkten besteht, kann x=0,[9] nur ein Element von A sein, daraus folgt die Gleichheit von 1 und 0,[9]. Du beweist, dass in "jeder" eps-Umgebung von 1 sich ein Funktionswert von f befindet. Ja und? Was soll mir das sagen? Gehe ich mal wieder mit der gleichen Argumentation drüber wie oben, so kann ich damit nur feststellen, dass 1 auf dem Rand von [0;1) liegt. Ah ja, ich glaube das stimmt sogar. Mfg Michael Manfred Hauser 2004-01-03 12:59:08 UTC Permalink Post by Michael Lange mitmachen :) Post by Michael Lange annähern, der gewählte Funktionswert nach wie vor im Definitionsbereich liegt. Der Unterschied liegt nur darin, daß ich ganz leicht zeigen kann, daß die 1 niemals erreicht wird, da sie ja schlichtweg nicht im Definitionsbereich liegt. Wende ich jedoch Deine Argumentationsweise an, müßte sie aber drin liegen. Post by Michael Lange eigenen Argumente nur manchmal gelten läßt?! Schöne Grüße, Manfred Gastfreund aus Korinth 2004-01-03 09:32:26 UTC Permalink Jedes mal wenn das Problem mit dem 0,[9] = 1 (um mal Deine Schreibweise zu kann man technisch fassen. Ist e > 0 eine (belibig kleine) reelle Zahl, so gibt es ein x aus D mit 1-x < e. (Die Bezeichnung D(x) ist unglücklich, denn D hängt nicht von x ab.) Wie weit ist man denn noch von der 1 entfernt, wenn man sich unendlich gegebenen Reihe ist. Dein Problem ist, ob man lim(x->x0)f(x) definieren kann für einen Punkt x0, der nicht im Definitionsbereich von f liegt. GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Timo Schneider 2004-01-04 11:40:13 UTC Permalink Post by Manfred Hauser Also ich versuche _mir_ das so zu erklären: 1.) 0,999.. ist nicht dasselbe wie 1 2.) 0,999... kann man auch schreiben als \sum{\frac{9}{10^{k}}}{n}{k=1} * 3.) lim n->oo des obigen Ausdrucks ist 1 4.) Da lim n->oo \sum{9/10^{k}}{n}{k=1} = 1 soviel zu schreiben ist, schreibt man dafür kurz 0,\overline{9}. Ich denke das selbe gilt für deine Funktion, nur das es hier keinen Schritt 4 gibt. Achtung! Ich behaupte keinesfalls, dass obiges irgendeine math. Wahrheit enthält. Für _mich_ (Jgst. 13) tut es das aber bisher0 als Erklärung ganz gut. Vielleicht hilft es auch anderen. Über Kommentare zu mathematischen Richtigkeit meiner Aussagen würde ich mich freuen. Grüße, Timo __________ * leider habe ich hier grad kein LaTeX um zu kontrollieren ob der Befehl richtig ist, aber ich denke man kann sich gut vorstellen was ich meine. Herr Rosenthal hat wohl zeichnerisch etwas mehr drauf als ich, bei im sieht das ganze dann so aus: oo ----------- \ 9 \ \ ---------------- / / k / 10 / ------------ k = 1 Christian Kortes 2004-01-04 14:44:51 UTC Permalink Post by Timo Schneider Post by Christian Kortes Post by Timo Schneider Also hier bin ich mir aber relativ sicher dass meine Aussage stimmt: Egal wieviele 9er ich hinter das Komma schreibe (ich kann ja nur endlich viele schreiben, weil Stifte, Papier etc. endlich sind) und diese Zahl von 1 abziehe bleibt immer eine Differenz > 0. Also können die beiden Zahlen nicht gleich sein. Ich dachte, du meinst "0, Periode 9". Post by Timo Schneider "0, Periode 9". Post by Timo Schneider Post by Christian Kortes stöbern. Oder kennst du zufällig einen Link wo man das runterladen kann? Das Buch runterladen? Das musst du schon kaufen. Wenn du später Mathe oder Informatik studieren willst, ist das Buch sowieso angebracht. MfG, Christian Florian Schaudel 2004-01-03 11:02:20 UTC Permalink Cornelia <***@usenet04.wrgym.uni.cc> wrote in news:***@usenet04.wrgym.uni.cc:Hallo Cornelia, zunächst einmal möchte ich Dir zu Deinem Papa (zumindest in mathematischer Hinsicht ;-)) beglückwünschen. Das was er Dir erklärt hat ist nicht nur vollkommen richtig, sondern es hätten wahrscheinlich 50% der Mathematikstudenten und 75% der Mathematiklehrer probleme, es so klar und einfach aus dem Stehgreif hinzuschreiben. Deine Frage bezieht sich aber auf ein tieferes Verständnis des Warum? Post by Cornelia Mathematiker einen "Beweis" nennen: Durch Anwendung richtiger Rechenoperationen oder Vorschriften stückweise von einer Aussage zu einer anderen kommen. Ist die Anfangsaussage formal richtig und die einzelnen Rechenschritte auch, dann muss automatisch auch die Endaussage richtig sein - selbst dann, wenn diese Endaussage nicht anschaulich verständlich ist. Post by Cornelia furchtbar große Zahl ist. Aber vielleicht hilft es Dir, über ein paar andere Fragen nachzudenken: - Wie bist Du eigentlich auf die 0,9999999... gekommen? Du könntest Dir ja zum Beispiel überlegt haben "Es gibt 0,3 periodisch (=1/3), es gibt 0,6 periodisch (=2/3) also muss es doch auch 0,9 periodisch geben (=?)". Eine andere Überlegung wäre "Was ist eigentlich 0,3... + 0,6... ? Wenn ich die normalen Rechnenregeln anwende, dann komme ich auf 0,9..." In beiden Fällen hast Du eigentlich genau dasselbe gemacht, was Dein Papa auch gemacht hat: Du hast gewisse formale Regeln, die Dir aus dem Rechnen mit endlichen Kommazahlen bekannt waren einfach auf periodische Zahlen übertragen (was übrigens vollkommen richtig ist). Da es sich aber nur noch um die Übertragung formaler Regeln handelt, ist das Ergebnis dieser Übertragung schwer vorstellbar. - Sind Dir schon andere Bereiche der Mathematik begegnet, wo Du etwas ähnliches gemacht hast? Ich z.B. hatte in Deinem Alter ziemliche Probleme damit, mir "paralelle Geraden" vorzustellen. Natürlich wusste ich, wass das ist und kannte ihre Eigenschaften, aber immer wenn ich sie mir vorstellen wollte habe ich das Biuld von zwei Eisenbahnschienen im Kopf, die sich in der ferne eben doch berühren ... - Was würde es "schaden", wenn man 0,9... einfach verbieten würde? Gäbe es Rechnungen, die sich dann nicht mehr ausführen liessen? Viel Spass bei Deinen weiteren Entdeckungen im Reich der Mathematik - Du bist auf dem richtigen Weg um viel Freude damit zu haben. Florian Roland Klug 2004-01-04 14:31:47 UTC Permalink Post by Cornelia dir jetzt nicht soviel, aber es hat mit der g-adischen Entwicklung zu tun. Also einfach mit der Definition einer Dezimalzahl zur Basis g in unserem Fall also g = 10. Eine Bruchzahl a kann man mit Hilfe einer Folge darstellen. Weiterhin kann man dann zeigen (beweisen), dass es genau eine Folge (zn) gibt, für die gilt: z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n <= a < z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n + 1/g^n a = Summe(n=0 bis oo) zn/g^n Und man hat sich auf die Schreibweise a = z0, z1 z2 z3...zn zu schreiben. Nach dieser Definition bekommt man zum Beispiel für den Bruch a= 1/2 die Dezimalzahl 0,5000000.... raus. Man kann aber auch zeigen, dass es genau eine Folge z'n gibt für gilt: z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n < a <= z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n + 1/g^n Diese Definition liefert beispielsweise für den Bruch a=1/2 die Dezimalzahl 0,499999999... Gruß Roland Jan Bruns 2004-01-05 06:32:40 UTC Permalink Post by Cornelia vermute ich. 0,9... könnte man auch schreiben als 0,9..9, denn wir hatten ja festgelegt, daß nach dem Komma nur noch 9en folgen sollen, also ist auch die letzte Ziffer eine 9. Das bedeutet dann auch, daß 0,0..1 mehr als nichts wäre. Post by Cornelia Nennen wir die Anzahl der Wiederholungen n. Das zehnfache von "0,9..9" schreiben wir als "9,9..9", wobei allerdings die beiden Punkte nun nicht mehr für n Wiederholungen der Ziffer 9 stehen, sondern eben nur n-1 Wiederholungen. Gibt es ein n, so daß gilt n=n-1 ? Gruss Jan Bruns -- Folgende Botschaft wird Ihnen mittels eines Microsoft Betriebssystems zusätzlich übermittelt: "Geht es jedoch an die Ausführung der von Ihnen geschriebenen Programme, so muss jeder Befehl von ihrem Commodore 64 erst interpretiert werden, d.h., in entsprechende, von ihm ausführbare Einzelschritte übertragen werden." Michael Lange 2004-01-05 12:38:28 UTC Permalink Hallo Jan,Jan Bruns schrieb: [...] Post by Jan Bruns Nachkommabereich keine letzte Stelle. Genausowenig, wie die Erde einen Rand hat (schlechter Vergleich), von dem man fallen könnte. Post by Jan Bruns Post by Jan Bruns Post by Cornelia Nennen wir die Anzahl der Wiederholungen n. Das zehnfache von "0,9..9" schreiben wir als "9,9..9", wobei allerdings die beiden Punkte nun nicht mehr für n Wiederholungen der Ziffer 9 stehen, sondern eben nur n-1 Wiederholungen. Du gehst ja konkret von einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen aus (zumindest habe ich das jetzt so verstanden). Damit machst Du natürlich einen entscheidenden Fehler. Auch wenn es nur um eine grenzwertliche Betrachtung geht, kann man ein Relationszeichen eben nicht aufrecht erghalten: Beispiel: a_n:=1/n (für n e IN°*). Dann gilt stets a_n>0, aber der Grenzwert ist GLEICH Null. Ich glaube, dass dieses Beispiel zum Verständnis beitragen kann. Es ist allerdings nicht für alle Schüler des Alters geeignet. Letztlich liegt das Verständnisproblem eben im Erfassen des Unendlichen. Da hilft einem auch ein Analogisieren zum Endlichen im manchen Fällen nicht viel, denn genau im Benutzen dieser Methode liegt eine große Fehlerquelle. Post by Jan Bruns in der 1=!=0 gilt). Denn dann kannst Du die Gleichung äquivalent umformen zu 1=0. #+ Mfg Michael Gerd Thieme 2004-01-05 19:45:09 UTC Permalink Post by Cornelia Dezimalbruch mit der 1, und keinen unendlichen. Solange der Dezimalbruch nur sehr lang ist, aber eben noch nicht ganz unendlich lang, ist er auch nur sehr nahe an der 1 aber noch nicht gleich 1. Was Du zum Verständnis brauchst ist der Begriff des Grenzwerts. Vereinfachen läßt sich nicht viel. Ich versuch's mal so: Eine (unendliche) Folge konvergiert dann gegen einen Grenzwert g, wenn man einen beliebigen positiven Abstand wählen kann, so klein man will, nur eben größer Null, und immer liegt fast die ganze Folge, mit endlich vielen Ausnahmen, dichter als dieser Abstand beim Grenzwert G (endlich viele Ausnahmen fallen bei einer unendlichen Folge nicht ins Gewicht). Such Dir also einen beliebigen Abstand d. Zähle in d die Nullen nach dem Komma. Das ist eine endliche Anzahl n. Dann sind alle endlichen Dezimalbrüche der Form 0,999...9, die mehr als n Neunen haben, dichter am Grenzwert 1 dran als der gewählte Abstand d. Nur die endlich vielen kürzeren Brüche sind weiter weg. Mit anderen Worten, wenn Du den Dezimalbruch lang genug wählst, kannst Du jeden, noch so kleinen Abstand unterbieten, es paßt nichts, aber auch gar nichts zwischen die Folge und ihren Grenzwert. So sind die reellen Zahlen konstruiert, sie sind allesamt Grenzwerte. Es geht auch anders. John Conway hat als Nebenprodukt der Spieltheorie surreale Zahlen erfunden, die sich durchaus in die Lücke zwischen einer reellen Folge und ihrem Grenzwert quetschen können, aber das hat mit Schulmathematik nichts mehr zu tun und nimmt ihr auch nicht ihre Richtigkeit. Gerd Gerd Thieme 2004-01-05 19:48:33 UTC Permalink Post by Cornelia Dezimalbruch mit der 1, und keinen unendlichen. Solange der Dezimalbruch nur sehr lang ist, aber eben noch nicht ganz unendlich lang, ist er auch nur sehr nahe an der 1 aber noch nicht gleich 1. Was Du zum Verständnis brauchst, ist der Begriff des Grenzwerts. Vereinfachen läßt sich nicht viel. Ich versuch's mal so: Eine (unendliche) Folge konvergiert dann gegen einen Grenzwert g, wenn man einen beliebigen positiven Abstand wählen kann, so klein man will, nur eben größer Null, und immer liegt fast die ganze Folge, mit endlich vielen Ausnahmen, dichter als dieser Abstand beim Grenzwert g (endlich viele Ausnahmen fallen bei einer unendlichen Folge nicht ins Gewicht). Such Dir also einen beliebigen Abstand d. Zähle in d die Nullen nach dem Komma. Das ist eine endliche Anzahl n. Dann sind alle endlichen Dezimalbrüche der Form 0,999...9, die mehr als n Neunen haben, dichter am Grenzwert 1 dran als der gewählte Abstand d. Nur die *endlich vielen* kürzeren Brüche sind weiter weg. Mit anderen Worten, wenn Du den Dezimalbruch lang genug wählst, kannst Du jeden, noch so kleinen Abstand unterbieten, es paßt nichts, aber auch gar nichts zwischen die Folge und ihren Grenzwert. So sind die reellen Zahlen konstruiert, sie sind allesamt Grenzwerte. Es geht auch anders. John Conway hat als Nebenprodukt der Spieltheorie surreale Zahlen erfunden, die sich durchaus in die Lücke zwischen einer reellen Folge und ihrem Grenzwert quetschen können, aber das hat mit Schulmathematik nichts mehr zu tun und nimmt ihr auch nicht ihre Richtigkeit. Gerd Gastfreund aus Korinth 2004-01-05 21:13:36 UTC Permalink Post by Gerd Thieme richtig erklärt, kann man also einem zwölfjährigen Kind mühelos klarmachen, was Grenzwerte sind. Nebenbei kommen noch andere interessante Objete, wie reelle Zahlen und surreale Zahlen vor. Jetzt müßten wir nur noch die Verantwortlichen überzeugen, damit diese Gegenstände Einzug in die Lehrpläne halten. (In der achten Klasse könnten wir dann bereits affine Zusammenhänge behandeln.) Das alles geht nur deshalb nicht, weil wir Lehrer so schlecht sind. GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Rainer Rosenthal 2004-01-05 22:56:43 UTC Permalink Post by Gerd Thieme just in diesen Tagen ist auch in sci.math mal wieder ein langer Thread mit dem Titel "0.999... = 1", in dessen Teilzweig "Rucker on Infinitesimals" der wirklich gute "regular" der Gruppe, G. A. Edgar, schreibt: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Post by Gerd Thieme namely Conway's surreals, in which such infinitesimal calculations are common. -- G. A. Edgar http://www.math.ohio-state.edu/~edgar/ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ich möchte für Heranwachsende und nicht allzu Erwachsene das Buch von Don Knuth über die "Surrealen Zahlen" empfehlen. Hier ist ein Link mit kurzer Einführung und Beschreibung. http://wikipedia.t-st.de/data/Surreale_Zahl Es scheint, als gebe es das Buch bisher immer noch erst auf Englisch. Das ist natürlich schade. Es liest sich nämlich sehr gut, weil es als (allerdings ziemlich konstruierte) Story aufgebaut ist. Halt, nein, Kommando zurück! Hier ist es auf Deutsch: German translation by Brigitte and Karl Kunisch, Insel der Zahlen, (Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1979), 124pp. Das habe ich gefunden bei: http://www-cs-staff.stanford.edu/~uno/sn.html Es könnte vielleicht dem Papa der OP gefallen. Gruss, Rainer Rosenthal ***@web.de Lukas-Fabian Moser 2004-01-06 00:21:19 UTC Permalink Hallo,Ich versuche es auch einmal, aber gleich vorweg: was du hier ansprichst, ist ein ziemlich schwieriges Problem, das in letzter Konsequenz zur Frage führt, was denn eigentlich eine Zahl ist, und welche Arten von Zahlen es geben kann. Im Schulunterricht wird deine Frage wohl nie völlig beantwortet werden, denn das sind reichlich abstrakte Fragestellungen. Aber mal schauen. Post by Cornelia fünf Stellen nach dem Komma konntest du dich anscheinend gewöhnen; das ist halt etwas, das herauskommen soll, wenn man gerne 132634 durch 100000 teilen würde. Oder, wenn man lieber mit Brüchen rechnet: "1.32634" ist nur eine andere Art und Weise, den Bruch 132634/100000 aufzuschreiben. Jetzt gehen wir einmal einen großen Schritt: kannst du dir etwas unter einer Zahl vorstellen, die unendlich viele Stellen vor dem Komma haben soll? - Ich jedenfalls nicht, und ich wüßte auch nicht, daß ein solches Etwas irgendwo auftauchen würde. Ganz genauso kann ich mir auch nicht so gut vorstellen, was eine Zahl mit unendlich vielen Stellen NACH dem Komma sein soll: nur, daß es in diesem Fall eine Definition gibt, eine Vereinbarung, in der die Leute miteinander ausgemacht haben, was sie sich alle gemeinsam darunter vorstellen wollen. Der wohl wichtigste Schritt ist der Folgende: es gibt einen Grund, daß man so etwas wie "unendlich viele Stellen nach dem Komma" gerne hätte, weil man nämlich feststellt, daß man nicht jede Zahl, mit der man gerne umgehen würde - und nicht einmal jeden Bruch - in der Form "ganze Zahlen + ein Komma + ein paar [endlich viele] weitere Ziffern" schreiben kann. Beispielsweise gibt es einen Bruch, der, mit 3 multipliziert, 1 ergibt - kein Problem, das ist 1/3 -, aber man stellt fest, daß es keine Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen mit dieser Eigenschaft gibt. Wir würden aber gerne wirklich jeden Bruch in dieser Kommaschreibweise aufschreiben können. Jetzt probieren wir mal ein wenig: die Zahl 0,3 - die macht ja kein Problem, das ist ja nur eine einzige popelige Stelle nach dem Komma - mit drei multipliziert, das gibt 0,9. Das ist nicht ganz 1, da fehlen noch 0,1. Hm, vielleicht kriegen wir es besser hin, wenn wir nicht eine, sondern zwei Nachkommastellen nehmen. 0,32 mal 3 ist 0,96, das ist schon besser, da fehlen nur 0,04. Oder 0,34 mal 3, das ist 1,02, das ist noch besser, da fehlen nur 0,02. Oder 0,33 mal 3, das ist 0,99, da fehlt nur 0,01. Und man kann sich überlegen, daß das die "beste Näherung" ist, die man mit nur zwei Stellen nach dem Komma hinbekommen kann. Das kann man jetzt fortsetzen: die Zahlen 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333 usw. werden sozusagen immer besser darin, mit drei multipliziert "fast genau 1" zu ergeben. Deshalb *vereinbaren* wir, daß wir von nun an unter der "Zahl" 0,3333.... mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma eben genau den Bruch 1/3 verstehen wollen. Und nun kommt ein weiterer Schritt: bislang haben wir ja nur einen einzigen, ganz speziellen Fall betrachtet. Wir werden nun eine andere Erklärung dafür geben, was man unter einer Zahl mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma versteht. Für 0,3333... muß da natürlich dasselbe bei herauskommen wie bei unserer Festlegung "es soll einfach genau 1/3 sein". Und zwar beobachten wir das Folgende: es ist nicht nur 3*0,333 "nahe bei 1", sondern auch 0,333 "nahe bei" 1/3. Denn 0,333 können wir ja auch als Schreibweise für den Bruch 333/1000 auffassen. Die Differenz von 0,333 und 1/3 können wir dann aber ausrechnen: das ist 1/3 - 333/1000 = 1000/3000 - 999/3000 = 1/3000, also ein Dreitausendstel, das ist schon ziemlich klein. Und genau wie vorhin schon stellt man nun fest, daß die Zahlen 0,3, 0,33, 0,333, 0,333 "immer näher" bei 1/3 liegen, denn die Abstände zu 1/3 sind 1/30, 1/300, 1/3000, 1/30000 usw. Angenommen, wir hätten eine "Zahl" mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma. (Was auch immer das sein soll.) Und zwar sollen die Stellen nach dem Komma "periodisch" sein, d.h. sie sollen sich immer nach einer gewissen Anzahl von Ziffern wiederholen. Zum Beispiel so etwas: 5,483483483483483... oder 112,155551555515555... oder auch 0,99999999... Nehmen wir einmal die erste dieser Zahlen, 5,483483483483483.... Sie besteht also aus "5", einem Komma und lauter Wiederholungen von "483". Jetzt betrachten wir die Zahlen 5 5,483 5,483483 5,483483483 . . . Jetzt kommen etwas, das man eigentlich streng "beweisen" müßte, aber das erspare ich dir natürlich: jetzt gibt es IMMER einen Bruch - und zwar genau einen, also nie zwei verschiedene Bruchzahlen -, an den sich diese Zahlen genau so annähern, wie sich oben 0,3, 0,33, 0,333, ... an 1/3 angenähert haben, und zwar ist das der Bruch 5 + 483/999. Deshalb vereinbaren wir: unter einer Zahl mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, die periodisch sind, also einer Zahl der Form a,bbbbbbbb (wobei b ein Block von Ziffern ist, also bei uns b=483), verstehen wir den Bruch a + b/999..9, wobei 999..9 die Zahl ist, die aus sovielen Neunern besteht, wie b Ziffern hat. Wir vereinbaren also, unter 112,155551555515555... den Bruch 112 + 15555/99999 und unter 0,9999999999999 den Bruch 0 + 9/9 = 1 zu verstehen. Nochmal, ganz wichtig: wir wußten vorher nur, was Zahlen mit endlich vielen Stellen nach dem Komma sind, und alles andere war nur eine Anhäufung von Ziffern, unter der wir uns nichts vorstellen konnten. Jetzt aber haben wir (zumindest im speziellen Fall, daß die Ziffern nach dem Komma periodisch sind) *vereinbart*, was wir uns von nun an darunter vorstellen wollen: und zwar etwas, was wir schon lange kennen, nämlich einen Bruch. Man kann sich nun natürlich noch fragen, was wir uns unter einer Zahl mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma vorstellen wollen, die nach dem Komma nicht periodisch ist. Da gibt es nun zwei Fälle: der einfachere Fall ist, daß am Anfang nach dem Komma "irgendwas" passiert, aber die Zahl dann doch irgendwann noch periodisch wird. Zum Beispiel so etwas: 3,154289898989898989..., also 3.1542 und dann immer wieder 89. Nun, das ist nicht so schwer, da legen wir einfach fest, das soll das Gleiche sein wie 31542,89898989898989... (das kennen wir, denn das ist periodisch) geteilt durch 10000. Das war's schon. Der andere Fall ist, daß die Stellen nach dem Komma sich nie als ganzes wiederholen, also zum Beispiel so etwas: 0,10110111011110111110... oder etwas völlig chaotisches wie 3,141592654... Und da kann ich dir wohl nur das Folgende verraten: es ist möglich, auch da eine sinnvolle Vereinbarung zu treffen, was wir uns darunter vorstellen wollen. Aber es ist in diesem Fall niemals möglich, diese merkwürdigen "Zahlen" einfach als Brüche aufzufassen, sondern sie sind etwas wirklich Neues. Trotzdem wird man relativ natürlich auf solche Zahlen, man nennt sie "irrational", geführt, beispielsweise wenn man den Umfang eines Kreises ausrechnen will oder die Seitenlänge eines Quadrates, das zwei Quadratmeter Fläche haben soll. Aber das ist alles noch ein wenig komplizierter, und sogar der berühmte griechische Mathematiker Pythagoras soll bei seiner Entdeckung, daß es Zahlen geben muß, die man nicht als Brüche schreiben kann, damit sehr zu kämpfen gehabt haben. Grüße, Lukas Jakob Creutzig 2004-01-06 09:15:03 UTC Permalink Cornelia <for-***@fit-for-spam-04.wrgym.uni.cc> writes:^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Wie bist Du denn an die e-mail-Adresse gekommen? Post by Cornelia Post by Cornelia sogenannten 'infinetisemalen' (das ist vornehm fuer 'unendlich klein') Zahlen treiben, aber das wird in der Schule nicht gemacht, dort wird nur mit den reellen Zahlen hantiert, und in reellen Zahlen gibt es so etwas tatsaechlich nicht. Post by Cornelia das Beste, was man ohne Grenzwerte formulieren kann. (Der 'Gastfreund aus Korinth' scheint ein ganz anderes Problem mit den Dezimalbruechen zu haben als Du, das sollte Dich nicht verwirren.) Sobald man den Begriff des Grenzwertes einfuehrt, kann man auch (endlich) exakt formulieren, was ein Dezimalbruch eigentlich sein soll, und dann kann man obige Erlaeuterung zu einem mathematischen Beweis dafuer, dass 0.99.. = 1 ist, ausbauen. Best, Jakob Benno Hartwig 2004-01-06 10:15:49 UTC Permalink ...aber das wird in der Schule nicht Natürlich kann man sich ihnen nähern mit "Rationale Zahlen, und dazu sowas wie Wurzel(2) und Pi und e und..." Definiert sind sie aber formal z.B. als "...Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen..."^ http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahlen oder anschaulicher und dafür nicht ganz exakt als Menge der 'Grenzwerte' von Cauchy-Folgen. Und der Grenzwert der Folge der Partialsummen von 0 + 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + 9/100000 + 9/1000000 + 9/10000000... ist eben 1 Und diese Folge wird kurz geschrieben als 0,99999999... Diese Äquivalenzklasse, die der reellen 1 entspricht, wird z.B. repräsentiert durch die Cauchy-Folge 1;1;1;1;1;1;1;1... aber auch durch die Cauchy-Folge 0; 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999;... und natürlich auch durch 0; 0,8; 0,98; 0,998; 0,9998; 0,99998; und durch viele andere Folgen. Jede reelle Zahl wird also durch diverse Folgen repräsentiert. In unserem Dezimalsystem werden (bloß!) einige solche Folgen durch Ziffernfolgen ausgedrückt. Die erste Folge wird durch 1 bzw. 1,000000000... ausgedrückt. Die zweite Folge wird durch 0,periode9 bzw. 0,99999999... ausgedrückt Und für die dritte Folge und viele andere gibt es keine direkte Darstellung als ein String im Dezimalsystem. Dass euch diese Denkweise noch suspekt vorkam, rührt eigentlich daher, dass ihr noch nicht recht wisst, was reelle Zahlen eigentlich sind. AFAIK wird das in der Schule auch noch gar nicht gemacht. Da wird einfach schon korrekt festgestellt, dass es neben den rationalen Zahlen noch mehr gibt. Was die reellen Zahlen aber eigentlich sind, wird AFAIR nichteinmal gestriffen. (Oder ist das heute anders?) Benno Gastfreund aus Korinth 2004-01-06 10:32:07 UTC Permalink Post by Cornelia was man ohne Grenzwerte formulieren kann. (Der 'Gastfreund aus Korinth' scheint ein ganz anderes Problem mit den Dezimalbruechen zu haben als Du, das sollte Dich nicht verwirren.) Ich habe kein großes Problem mit Dezimalbrüchen. Aber schaue Dir nur diesen Thread an, wie lang er bereits ist. In dem Bestreben, die Sache einer Schülerin von zwölf Jahren (wenn die Story stimmt) zu erklären, wurden hier reelle Zahlen (kommt zuerst in der neunten Klasse und eigentlich erst in der zehnten Klasse, wo man beginnen soll, auf Grenzprozesse hinzuweisen), Surreale Zahlen und Hyperreelle Zahlen benutzt. Ich habe nur gewartet, daß jemand ihr den Begriff "Ultrafilter" erklärt... Was die Erklärung der Schülerin angeht, bin ich mir tatsächlich nicht ganz sicher, wie man in solchen Fällen vorgehen soll. Natürlich hat eine Aussage wie "Wenn der Unterschied zwischen 0,9 periodisch und 1 gleich ist" keine Bedeutung, denn eine Größe kann nicht gleich sein, nur zwei Größen können das. Auch die Erklärung mit der Ende der Unendlichkeit ist an sich fragwürdig, denn das "Ende der Unendlichkeit" wird eben niemals erreicht. Soll man also einen Schüler loben, nur aus pädagogischen Gründen? Man kann diese Dinge einer Schülerin mit zwölf Jahren eben nicht gut erklären und normalerweise versteht sie auch ein Abiturient nicht. (Ich kann ganz andere Dinge nicht erklären, wie z.B. daß aus (x+1)/x^2=0 nicht x+1 = x^2 folgt, usw. Die vier Lehrer, die die Schüler vor mir hatten, konnten das auch nicht und nun sind es Abiturienten. Man lernt als Lehrer schnell mathematische Bescheidenheit.) Ich denke, die meisten Lehrer können dies bestätigen. GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Gastfreund aus Korinth 2004-01-06 12:20:22 UTC Permalink Post by Michael Klemm die Schüler die Symbole nicht eindeutig bzw.\ erkennbar schreiben. Ich mußte es als Kind üben, mein Vater gab mir keine Ruh, bis ich das konnte und ich bin ihm dankbar dafür. Es ist aber klar, daß man das heutzutage nicht mehr machen kann. Post by Michael Klemm der Zähler wirklich über dem Nenner ist. (Die Angaben setze ich mit LaTeX.) Nein, sie haben wirklich so tiefe algebraische Probleme. Sie zeigen sich auch an anderen Stellen. So stellt sich immer wieder heraus, daß die Wurzelfunktion additiv ist, bei Termen des Typs (a+b)^2 wird gerechnet, als ob a und b in F_2 lägen, usw. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen wird auch von Abiturienten keineswegs *beherrscht*. Am besten wäre es, in den letzten zwei Jahren noch einmal die siebte bis zehnte Klasse zu wiederholen, aber das ist wohl nicht ehrgeizig genug... At the risk of repeating myself: Jeder Lehrer weiß, wie das ist. GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups ---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =--- Michael Klemm 2004-01-06 10:29:09 UTC Permalink Hallo Cornelia................. Post by Cornelia kann, z.B als 3 Drittel. Nun interessiere ich mich mal für die kleinste Zahl, die größer ist als jede der Zahlen 0.9, 0.99, 0.999 usw. Diese Zahl bezeichne ich mit Z. 1 ist größer als jede der genannten Zahlen, aber ich weiß noch nicht, ob ich die Zahl 1 noch unterbieten kann. Daher schreibe ich vorsichtshalber Z <= 1. Dann kann ich mal versuchsweise Z = 0.abcde.... hinschreiben und stelle durch Vergleich mit meiner Zahlenreihe fest, dass a = b = c = d = e = .... = 9 sein muss, und dass das Ganze auch nur für Z = 1 geht. So komme ich zu der Schreibweise 1 = 0.99999..... = 0.periode(9). Bei 1 - 0.periode(9) gehe ich ähnlich vor. Das ist jetzt die größte Zahl, die kleiner ist als jede der Zahlen 0.1, 0.01, 0.001 usw. Hier gibt es nur die 0, die in Frage kommt. Gruß Michael Ist 0 9 Periode das gleiche wie 1?Die periodische Dezimalzahl 0,999… (auch mit mehr oder weniger Neunern vor den Auslassungspunkten geschrieben oder als 0,9 oder 0,(9)) bezeichnet die reelle Zahl 1. Die Symbole „0,999…“ und „1“ stellen also dieselbe Zahl dar (siehe Stellenwertnotation).
Was ist größer 1 oder 0 Periode 9?Aus den angedeuteten Antworten leitet man leicht ab, dass JEDE Klassenstufe der weiterführenden Schulen an dieser Frage Interesse finden kann. Ergebnis vorab: Die beiden Darstellungen bezeichnen die gleiche Zahl, haben also den gleichen Wert. Deshalb ist keine der beiden größer.
Was ist 0.9 Periode als Bruch?Die Lösung ist einfach: 0,9 Periode ist gleich 1. 0,9P mal 10 gibt 9,9P; minus 0,9P gibt 9; geteilt durch 9 gibt 1.
Wann ist eine Zahl periodisch?Was ist eine periodische Dezimalzahl? Eine periodische Dezimalzahl erkennst du daran, dass sich eine Ziffer oder eine Folge von Ziffern nach dem Komma immer wiederholt. Die Wiederholungen können bei der ersten Nachkommastelle beginnen, sie können aber auch erst später beginnen.
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Warum ist 0 9 periodisch 1?
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