Wie verändert sich das Volumen des Würfels?

Setzt man diese beiden Verh�ltnisse jedoch wieder ins Verh�ltnis, dann ergibt sich folgendes, und das ist dann wirklich relevant:

Erstens k�rzen sich die Dimensionen Meter heraus, zweitens ist der Wert 2 eine eindeutig interpretierbare Gr�sse, n�mlich:

Der gr�ssere W�rfel hat -bezogen auf seine Oberfl�che- das doppelte Volumen.

Die Konsequenzen dieses Satzes sind weitreichend: Die physikalischen Verh�ltnisse bestimmter Systeme �ndern sich n�mlich allein dadurch, dass man die Systeme vergr�ssert. In vielen F�llen wird sich herausstellen, dass dies mit technologischen Machbarkeitsgrenzen einher geht.

Wichtig ist der unterstrichene und kursiv geschriebene Teilsatz, denn dass gr�ssere K�rper ein gr�sseres Volumen haben, ist ja klar. 

In dem Beispiel mit den W�rfeln k�nnte man auch sagen: Der W�rfel mit dem 8-fachen Volumen hat die 4-fache Oberfl�che. Mathematisch ist das kein Zufall:

Durch die Verdoppelung der Kantenl�nge von 1 m auf 2m und der Tatsache, dass die Fl�che mit dem Quadrat der Kantenl�nge, und das Volumen mit der 3. Potenz der Kantenl�nge korreliert ist, ergibt sich ja gerade (23) / (22) = 2.

Dies gilt nicht nur f�r W�rfel, sondern f�r alle geometrischen Formen.

Allgemein kann man sagen: 

Bei K�rpern mit �hnlicher Form hat der gr�ssere nicht nur das gr�ssere Volumen,

sondern sein Volumen ist auch bezogen auf seine Oberfl�che gr�sser.

Die Konsequenzen dieser Grundaussage sollen anhand der nun folgenden Beispiele veranschaulicht werden.

Was ist ein Volumen? Wie kann man das Volumen bei einem Würfel berechnen? Du hast solche Fragen, aber keine Antworten darauf? Kein Problem, hier findest du alles, was du brauchst.

Volumen Würfel – Der Würfel

Um zu verstehen, was das Volumen eines Volumens ist, ist es wichtig verstanden zu haben, was ein Würfel ist und welche Eigenschaften er hat.

Würfel – Definition

Ein Würfel ist ein geometrischer Körper, der aus 6 Quadratflächen besteht. Es handelt sich um ein dreidimensionales Polyeder.

Das bedeutet, dass der Würfel ein geometrischer Körper und seine Grundfläche ein Quadrat ist. Er wird immer dreidimensional dargestellt.

Aufbau und Eigenschaften eines Würfels

Es ist wichtig, dass du einen Würfel erkennen kannst und weißt, wie er aufgebaut ist. Nur so kannst du dir das Volumen eines Würfels besser vorstellen.

Ein Würfel sieht so aus:

Abbildung 1: Der Würfel

Er hat also aufgrund seines Aufbaus folgende Eigenschaften:

• Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten.
• Die Grundfläche eines Würfels ist ein Quadrat.
• Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang.
• Ein Würfel ist punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt und symmetrisch zu einigen Achsen im und durch den Würfel, da alle Kanten, Ecken usw., gleichartig sind.
• Ein Würfel hat Raumdiagonalen und Seiten diagonalen.

Diese Eigenschaften kannst du auch gut anhand dieser Abbildung nachvollziehen:

Abbildung 2: Begriffe eines Würfels

Hier erkennst du genau die quadratische Grundfläche. Diese ist in der Abbildung blau gefärbt.

Außerdem kannst du dir nochmal anschauen, was man unter der Kante versteht, denn diese brauchst du für die spätere Berechnung des Volumens.

Volumen Würfel – Das Volumen

Nachdem du jetzt schon den Würfel mit seinem Aufbau, der Definition und seinen Eigenschaften wiederholt hast, schauen wir uns nun gemeinsam an, wie du das Volumen berechnen kannst.

Was ist das Volumen?

Allgemein solltest du erst einmal wissen, was das Volumen überhaupt ist und was es aussagt. Dafür kannst du dir diese Definition durchlesen.

Die Volumenberechnung eines Körpers gibt uns Aufschluss über den Rauminhalt dessen.

Es ist der Inhalt, der durch die Seiten des Körpers eingeschlossen, bzw. begrenzt, wird.

Zur Berechnung des Volumens brauchst du je nach Körper eine andere Formel.

Herleitung des Volumens und allgemeine Verfahrensweise

Das Volumen kannst du nicht nur für einen Würfel berechnen, sondern auch für andere geometrische Körper. Dabei bleibt die allgemeine Vorgehensweise immer recht gleich.

Das Volumen wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird. Die Einheit des Volumens wird in Kubik angegeben.

Die Berechnung der Grundfläche variiert je nach ihrer Form. Die Variable h gibt dann die Höhe des geometrischen Körpers an. Bei einem Würfel ist die Grundfläche ein Quadrat, wie du schon oben erfahren hast.

Stell dir dieses Quadrat flach liegend auf dem Boden vor.

Abbildung 3: Quadrat flach

Diese Grundfläche, die flach auf dem Boden liegt wie eine Platte oder ein Stück Papier, wird nun in die Höhe gezogen. Dann verändert sich ein Objekt von zwei- zu dreidimensional.

Abbildung 4: Entstehung des Volumens

Volumen – Einheit bei der Berechnung

Wenn man mit geometrischen Körpern rechnet, muss man immer die Einheiten mit einbeziehen.

So wie du zum Beispiel den Flächeninhalt in einer Quadrateinheit, also hoch 2 angibst, musst du auch bei der Volumenberechnung die Einheiten berücksichtigen.

Generell kannst du dir merken, dass man das Volumen immer in einer Kubikeinheit angibt. Das kann in Kubikmetern sein, aber auch Kubikzentimetern etc.. Bei Sachaufgaben ist es allerdings oft der Fall, dass du etwas in Litern gegeben hast. Für die Umrechnung kannst du dich an folgender Tabelle orientieren.

Weitere Einheiten und Umrechnungen findest du in unserem Artikel Größen und Einheiten.

Volumen eines Würfels – Formel

Inzwischen weißt du ja bereits, was das Volumen im Allgemeinen ist. Zur Berechnung des Volumens für den Würfel kann die allgemeine Formel noch konkreter gefasst werden:

Die Formel für die Berechnung des Volumens eines Würfels lautet folgendermaßen:

Das große V steht für das Volumen und das kleine a steht für die Kantenlänge deines Würfels.

Das Volumen eines Würfels berechnet sich also, indem du die Kantenlänge dreimal miteinander multiplizierst. Das Ganze lässt sich auch alszusammenfassen.

Du hast ja oben bereits erfahren, dass die Grundfläche mal die Höhe das Volumen ergibt. Aber wieso hat die Formel jetzt drei gleiche Komponenten? Das ist auch ganz einfach zu erklären.

Das Kleine a gibt die Kantenlänge des Würfels an. Im ersten Part der Formel, also beiwird die Grundfläche unseres Würfels, also das Quadrat berechnet. Das müsste dir schon bekannt vorkommen. Wenn nicht, lies dir gerne unseren Artikel zum Quadrat durch!

Im zweiten Teil der Formel wird dann diese berechnete Grundfläche des Quadrates mit der Kantenlänge a multipliziert. Und da in einem Würfel alle Kanten gleich lang sind, gibt a also auch die Höhe des Würfels an.

Abbildung 5: Grundfläche eines Würfels

Nachdem du jetzt bereits viel über den Würfel und sein Volumen weißt, kannst du dir die Berechnung anhand eines Beispiels anschauen.

Du hast einen Würfel gegeben, der eine Kantenlänge von 8 Metern besitzt. Die Kantenlänge ist also .

Zunächst berechnen wir die Grundfläche des Würfels.

Die Kantenlänge und die Grundfläche setzen wir nun in die Formel zur Volumenberechnung ein.

Die Kantenlänge aus dem Volumen berechnen

Du kennst nun das Verfahren, wie du das Volumen eines Würfels berechnest, wenn du die Kantenlänge a gegeben hast.

Manchmal jedoch, wird von dir erwartet, dass du das Ganze auch umgekehrt anwenden kannst. Das heißt, du musst dann durch das Volumen die Kantenlänge herausfinden.

Um die Kantenlänge eines Würfels aus dem Volumen zu berechnen, muss die dritte Wurzel aus dem Volumen ziehen. Es gilt:

Schau dir das ganze anhand eines kleinen Beispiels an.

Gegeben ist das Volumenfür einen Würfel.

Um die Kantenlänge des Würfels zu berechnen, müssen wir nun die dritte Wurzel aus dem Volumen ziehen.

Nachdem wir die dritte Wurzel gezogen haben, bekommen wir raus, dass die Kantenlänge für den Würfel 6 Meter ist.

Hier hast du auch nochmal eine kleine Gegenrechnung, dass man bei der Volumenberechnung mit der herausbekommenen Kantenlänge das obige Volumen herausbekommt.

So kannst du immer nochmal prüfen, ob dein Ergebnis richtig ist.

Der Würfel im dreidimensionalen Koordinatensystem

Ein Würfel stellt einen dreidimensionalen Körper dar.

Genau aus diesem Grund lässt sich ein Würfel auch im dreidimensionalen Koordinatensystem zeichnen und mithilfe von Vektoren bestimmen.

Schau dir vor diesem Part des Artikels gerne nochmal unsere Artikel zum dreidimensionalen Koordinatensystem und zu Vektoren an. Dieses Grundwissen brauchst du, um den Würfel im dreidimensionalen Koordinatensystem darzustellen.

Schaue dir zunächst an, wie das Ganze dann aussehen könnte:

Abbildung 6: Würfel im dreidimensionalen Koordinatensystem

Die Kanten zwischen zwei Eckpunkten können dann durch einen Vektor angegeben werden. Wenn du einen Vektor kennst oder die Koordinaten der Eckpunkt, kannst du auch andere Vektoren damit herausfinden.

Volumen Würfel – Aufgaben

Zum Schluss kannst du dein erlerntes Wissen nochmal direkt anhand einer Übungsaufgabe testen.

Aufgabe

Du möchtest einen kleinen Glaswürfel mit Erde für deine Würmer füllen. Der ganze Würfel soll mit Erde gefüllt sein.

Wie viel Volumen hat ein Spielwürfel?

Ist Volumen immer hoch 3?

Wie verändert sich die Oberfläche eines Würfels wenn man die Höhe verdoppelt?

Was gilt für das Volumen eines Würfels?