Wie heißt die Menge aller Punkte des Raumes die von einem Punkt den gleichen Abstand haben?

V.01 | Punkte, Geraden und Ebenen

Allgemeine Grundlagen der Vektorgeometrie rund um Punkte, Geraden und Ebenen. Geraden und Ebenen aufstellen, Ebenenformen umwandeln, etc..

V.01.01 | Zeichnen im 3D-Koordinatensystem

Ein 3D-Koordinatensystem hat natürlich drei Achsen.
Die Achsen heißen Koordinatenachsen.
Die erste Achse heißt x1- oder x-Achse. Man stellt sich vor, dass diese Achse nach vorne zeigt. [Aus dem Blatt raus, auf einen zu zeigend.] Man zeichnet sie schräg nach links unten, die Einheit ist 0,7cm [ein schräges Kästchen].
Die zweite Achse heißt x2- oder y-Achse. Sie zeigt waagerecht nach rechts. Die Einheit ist 1cm.
Die dritte Achse heißt x3- oder z-Achse. Sie zeigt senkrecht nach oben und steht in vielen Aufgaben für die Höhe. Die Einheit ist 1cm.

Punkte einzeichnen

Punkte in ein 3D-Koordinatensystem einzuzeichnen, ist nicht viel schwerer als in ein 2D-Koordinatensystem [das ist das normale Koordinatensystem mit x- und y-Achse].

Beispiel a.

Zeichnen wir den Punkt   P(2|5|3)   ein.
Wir beginnen im Ursprung, gehen  2  LE [=Längen­Einheiten] in x1-Richtung, danach 5 LE in x2-Richtung und von da aus 3 LE in x3-Richtung. Fertig ist der Punkt.

Geraden einzeichnen

Will man Geraden einzeichnen, fängt man zuerst mit dem Stützvektor an.
Man zeichnet also zuerst den Stützvektor ein. Beginnend von diesem Punkt zeichnet man dann noch den Richtungsvektor ein und verbindet das Ganze.
 

Beispiel b.

Zeichnen wir die Gerade 

Lösung:
Zum Zeichnen von Geraden beginnen wir mit dem Stützvektor. Der Stützvektor hat die Koor­dinaten: x1=2, x2=3 und x3=4. Daher beginnen wir im Ursprung, gehen von hier aus 2LE in die x1-Richtung, danach 3LE in die x2-Richtung und zuletzt 4LE in die  x3-Richtung.
Nun haben wir den Stützvektor eingezeichnet.

Danach kommt der Richtungsvektor.
Hierfür beginnen wir beim eingezeichneten Stützvektor. Der Stützvektor hat die Koordi­naten: x1=4, x2=-1 und x3=1. Also beginnt man beim Stützvektor [welchen man eben eingezeichnet hat. NICHT wieder im Ursprung!] und geht von hier 4 nach links unten, in x1-Richtung, danach 1 nach links, in negative x2-Richtung und anschließend 1 nach oben, in x3-Richtung.

Wenn man diesen Punkt, bei welchem man eben angekommen ist, mit dem Stützvektor verbindet, hat man die gewünschte Gerade.

Es kann natürlich auch sein, dass man von einer Geraden zwei Punkte gegeben hat. Dann ist das Einzeichnen einfach. Man zeichnet die beiden Punkte ein, zieht ein Strich durch und hat die Gerade. [Jeden Punkt zeichnet man so ein, wie den Stützvektor von eben.]
Dazu machen wir kein Beispiel.

Punkte aus dem Koordinatensystem herauslesen

Bei der Zeichnung im 3D-Koordinatensystem, gibt es leider das geringfügige Problem, dass das Ganze nicht rückwärts geht, d.h. man kann keine Punktkoordinaten aus der Zeichnung herauslesen.

Beispiel c.

Zeichnen wir drei Punkte  A(0|3|-1),  B(4|5|1)  und  C(2|4|0)  in ein Koordinatensystem ein. Wir stellen fest, dass alle drei Punkte an der gleichen Stelle eingezeichnet werden. Umgekehrt bedeutet das auch, dass man leider nicht sagen kann, welche Koordinaten der eingezeichnete Punkt hat. Doof so was.

Was kann man überhaupt der Zeichnung entnehmen?
Typischerweise hat man manchmal Quader [=„Schachteln“], Pyramiden, Prismen oder andere anschauliche Objekte gegeben, von denen man die Koordinaten der Eckpunkte ablesen kann.

Beispiel d.

Gegeben sei ein Quader mit den Metermaßen 4x5x3, wie in der Abbildung gezeigt.
a)    Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte.
b)    Blablablah ... [weitere Fragen] …

Lösung:
Zuerst benennen wir die Eckpunkte.
Wir kommen keinesfalls auf die Idee die Koordinaten  irgendwelcher Punkte abzulesen!!
Wir stellen uns vor, wie der Quader [als Schachtel] in Wirklichkeit aussieht und wo die Punkte liegen!

Vorbereitung:
Der Quader ist 5LE breit, er geht also von x2=0 bis x2=5,
er ist 3LE hoch, die Maße gehen also von x3=0 bis x3=3
und er ist 4LE tief, er geht also von x1=0 bis x1=4.

D liegt im Ursprung      ⇒ D(0|0|0)

Um zu  A  zu kommen, geht man von D um  4LE  nach vorne, d.h. zur x1-Koordinate kommen  4  dazu.        ⇒ A(4|0|0)

Auf  B  kommt man, indem man von A um 5LE nach rechts geht, d.h. zur x2-Koordinate von A kommen  5LE  dazu    ⇒ B(4|5|0)

Auf  C  kommt man, indem man von D um 4LE nach rechts geht, d.h. zur x2-Koordinate von D kommen  5LE  dazu    ⇒ C(0|5|0)

Die Punkte E, F, G, H liegen alle 3LE oberhalb von A,

B, C und D [die Quaderhöhe ist 3], also kommen überall zu den x3-Koordinaten von A, B, C, D  3 dazu   ⇒ E(4|0|3), F(4|5|3)

V.01.02 | Mittelpunkte, Schwerpunkte, Verbindungsvektoren

Ortsvektoren, Richtungsvektoren

Ortsvektoren sind eigentlich Punkte, die man in Vektorform (also übereinander) aufschreibt.
Der Ortsvektor von einem Punkt A heißt

Beispiel:

Einen Vektor  berechnet man, indem man Punkt A von Punkt B abzieht.
Die Schreibweise

Mitte zweier Punkte

Beispiel e.

Bestimme den Mittelpunkt von A( 1 | 4 | 6 )  und  B(-2 | 1 | 0 )  !

Lösung:
[Um den Mittelpunkt zu bestimmen, zählt man beide Punkte zusammen und teilt durch zwei!]

Schwerpunkt im Dreieck

Beispiel f.

Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks ABC mit: A( 2 | 5 | -1 )   B( -4 | 2 | 5 )   C( -1 | 5 | 2  )

Lösung:
[Um den Schwerpunkt zu bestimmen, zählt man alle drei Punkte zusammen und teilt durch drei!]

V.01.03 | Parameterform von Gerade

Eine Gerade aus zwei Punkten aufzustellen, ist sehr einfach. Einen der beiden Punkte nimmt man als Stützvektor [der steht vorne und hat keinen Parameter], der Richtungsvektor steht hinten, hat einen Parameter vorne dran und wird berechnet, indem man beide Punkte voneinander abzieht. [So berechnet man sie immer.]

Beispiel g.

Die Gerade, die durch die Punkte A( 1 | 3 | 2 )  und  B( 5 | 5 | -2 ) geht, lautet:

V.01.04 | Verschiedene Ebenenformen

Eine Ebene gibt es in mehreren Formen. Insgesamt gibt es fünf nennenswerte Ebenenformen, wobei jedoch nur die ersten beiden so richtig wichtig sind. Von den letzteren drei Ebenenformen lernen Sie möglicherweise nicht alle.

Die Parameterform (PF)

Eine Parameterform einer Ebene besteht aus einem Stützvektor [=Ortsvektor] und zwei Richtungsvektoren [=Spannvektoren].
Der Stützvektor ist ein Punkt, jeden Richtungsvektor erhält man, indem man zwei Punkte voneinander abzieht.

Die Koordinatenform (KF)

Eine KF einer Ebene ist eine einzige Zeile, also eine Gleichung.
Sie ist meines Erachtens die wichtigste Ebenengleichung [obwohl es auch Schultypen gibt, die diese Ebenenform nicht lernen].
    E : a·x1 + b·x2 + c·x3 = d
Hierbei sind a, b, c, d Zahlen. Schreibt man die Zahlen a, b, c übereinander, erhält man den Normalenvektor [das ist der Vektor, der senkrecht auf der Ebene E steht].

Die Normalenform (NF

Eine NF einer Ebene hat die Form: 

Hierbei ist

 ein Punkt der Ebene und

 der Normalenvektor.

Die Normalenform ist vergleichbar mit der Koordinatenform, jedoch sind eigentlich alle Rechnung über die Koordinatenform etwas schneller. Die Normalenform kann man jedoch viel besser für Erklärungen und Beweisverfahren verwenden.

Die Hesse-Normal-Form (HNF)

Die HNF kann man sowohl aus der Koordinatenform als auch aus der Normalenform  erstellen. Man benötigt die HNF nur um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen. Daher gehen wir hier nicht weiter darauf ein. [aber in Kapitel V.03.07]

Die Achsen-Abschnitts-Form (AAF)

Die AAF ist eine Abwandlung der Koordinatenform, aus welcher man die Achsenschnittpunkt [=Spurpunkte] sehr gut ablesen kann. Allerdings stellt sich die Frage, ob es schneller geht, die Achsenschnittpunkte auf konventionellem Weg zu bestimmen oder dafür extra noch die AAF aufzustellen. [siehe auch Kapitel V.01.11 ]

Für Sie ist wichtig zu wissen, wie man die eine Ebenengleichung in eine andere umwandelt. [siehe hauptsächlich Kapitel V.01.06 bis V.01.08]

V.01.05 | Parameterform von Ebene

Ebene aus drei Punkten erstellen

Beispiel h.

Die Ebene aufstellen, die durch die Punkte A(1|3|2), B(5|5|-2) und C(2|5|4) geht, lautet:

[Umwandlung in Koordinatenform machen wir erst weiter unten]

Ebene aus einem Punkt und einer Geraden erstellen

Beispiel i.

Sei der Punkt P(1|-3|-6) und die Gerade

Beispiel j.

Die beiden Geraden  

Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene.

Lösung:
[Wenn aus der Aufgabe nicht eindeutig hervorgeht, dass sich g und h schneiden, muss man dieses nachweisen! Hier ist eigentlich schon gesagt, dass die beiden tatsächlich eine Ebene bilden.]
Wir brauchen für die Ebene einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Das kann man alles einfach den beiden Geraden entnehmen.

Ebene aus zwei parallelen Geraden erstellen

Bespiel k.

Gegeben seien  

Welche Ebene enthält die beiden Geraden g und h?

Lösung:
Wir brauchen für die Ebene einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Den Stützvektor und einen Richtungsvektor entnimmt man einer der Geraden. Den zweiten Richtungsvektor erhält man, indem man die beiden Stützvektoren von einander abzieht.

E : 

V.01.06 | Ebenen umformen (Parameterform in Koordinatenform)

Parameterform in Koordinatenform   (Hammer-Weg, über Kreuzprodukt)

Diese Methode entstammt dem frühen kommunistischen Russland, deswegen
heißt sie auch Hammer-Methode.      ← Blöder Witz!

Jetzt ernsthaft: Die allereinfachste Methode, den Normalenvektor [und damit eine Koordinaten- oder Normalengleichung] zu bestimmen, liefert das sogenannte „Kreuzprodukt“ (manche nennen es auch „Vektorprodukt“).   Leider akzeptieren nicht alle Lehrer diesen Hammer-Weg.
[Ihr werdet entschuldigen, das ich die detaillierte Erklärung des Kreuzproduktes erst in Kap V.05.03 vornehme]

Mal wieder ernsthaft: Der Normalenvektor steht senkrecht auf einer Ebene. Daher berechnen wir aus den Richtungsvektoren der Ebene mit Hilfe des Kreuzprodukts den Normalenvektor, welchen wir dann in die Koordinatengleichung als Zahlen vor x1, x2 und x3 schreiben.

Beispiel m.

Geben Sie eine Koordinatengleichung an von E :  

Lösung:
Zuerst berechnen wir den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren.

Nun wissen wir, dass vor den x1, x2 und x3 in der Koordinatengleichung die Zahlen:
8, -4 und 1 stehen  ⇒   E :  8x1 – 4x2 + 1·x3 = ??
Um die rechte Seite zu erhalten, machen wir eine Punktprobe.
[Wir setzen den Stützvektor aus der gegebenen Parametergleichung ein]

E : 8x1 – 4x2 + 1·x3 = d       ⇒     8·6–4·(-4)+1·5 = d        ⇒    69=d        ⇒         E : 8x1–4x2+x3=69

Beispiel n.

Geben Sie eine Koordinatengleichung an von E :  

Lösung:
Zuerst berechnen wir den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren.

Nun wissen wir wieder, dass vor den x1, x2 und x3 in der Koordinatengleichung die Zahlen   2, 1 und -2 stehen.    ⇒    E : 2x1+1x2–2x3 = d
Um die rechte Seite zu erhalten, machen wir eine Punktprobe.
[Wieder den Stützvektor aus der gegebenen Parametergleichung einsetzen]
⇒   2·4+1·5–2·1=d     ⇒     E : 2x1+x2–2x3=11

Parameterform in Koordinatenform  (zweiter Weg, über Skalarprodukt)

Der Normalenvektor einer Ebene steht immer senkrecht auf der Ebene und damit auch auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene. Deswegen muss das Skalarprodukt von dem Normalenvektor mit beiden Richtungsvektoren Null geben.

Beispiel o.

Sei 

Lösung:

Den Normalenvektor bezeichnen wir als 

1?n1 + 1?n2 – 4?n3 = 0   und   2?n1 + 7?n2 + 12?n3 = 0

diese beiden Gleichungen verrechnen wir jetzt so, dass entweder n1 oder n2 oder n3 wegfällt.
[Wir werden in den nächsten Schritten  n1  wegfallen lassen]

An dieser Stelle haben wir eine Gleichung mit nur noch zwei Unbekannten.
Wir dürfen nun n2 oder n3 beliebig wählen. [Also entweder n3=t oder n3=1 oder ...]
Wir wählen mal n3=t !    ⇒    5·n2 + 20·t = 0       ⇒    n2=-4t
n2 und n3 in die Ausgangsgleichung einsetzen [z.Bsp. in die erste].
⇒    1·n1+1·(-4t)–4·t=0    ⇒    n1=8t

Somit haben wir unseren Normalenvektor  

Nämlich:
8·x1–4·x3+1·x3=d            [die rechte Seite kennen wir noch nicht. Dafür setzen wir in die
                                      Koordinatengleichung einen Punkt [=Stützvektor] der Ebene ein.]

8·6–4·(-4)+1·5 = d    ?      69=d            
Also lautet unsere Koordinatengleichung:         E : 8·x1–4·x2+x3 = 69

Parameterform in Koordinatenform  (dritter Weg, über LGS)

Beispiel p.

Geben Sie eine Koordinatengleichung an von 

Lösung:
Um die Koord.form zu kriegen, schreiben wir die Ebene als drei Gleichungen auf:
                    x1 = 6 +r +2s
                    x2 =-4 +r +7s
                    x3 = 5-4r+12s
Wir betrachten „r“ und „s“ als unsere Unbekannten [die wollen wir weg haben] und sagen deswegen ganz laut: „Geht weg!“
Wenn´s nichts nützt, müssen wir mit einem LGS weitermachen, sprich die drei Gleichungen so umformen, dass alle „r“ und „s“ links stehen, alle „x?“ und Zahlen auf der rechten Seite.
                    -r – 2s = -x1 + 6
                    -r – 7s = -x2 – 4
                    4r–12s =-x3 + 5
Als LGS umschreiben und dann alles unter der Diagonalen eliminieren.

In der letzten Zeile steht bereits unsere Koordinatengleichung.
            0 = -8·x1+4·x2–x3 + 69
Natürlich kann man die noch umformen und so tun,
als ob man etwas Sinnvolles geleistet hätte.                            E : 8·x1–4·x2+x3=69

V.01.07 | Ebenen umformen (Koordinatenform in Parameterform)

Zuerst errechnen wir einfach drei Punkte der Ebene, daraus können wir schon die Parametergleichung erstellen.    [Geht kaum länger als Sex beim ersten Rendevous.]

Beispiel s.

Geben Sie   E : 2x1–4x2–2x3 = 8   in Parameterform an!

Lösung:
Wir brauchen irgendwelche drei Punkte, die auf der Ebene liegen.
Die Koordinaten der Punkte kann man sich aus den Fingern saugen, aber natürlich so, dass beim Einsetzen in die Ebene wieder =8 `rauskommt.
z.B. geht das mit den Punkten   A(1|-1|-1), B(4|0|0), C(2|-2|2)
Am einfachsten geht das mit den Spurpunkten (siehe Kap. V.1.10)

V.01.08 | Ebenenformen umwandeln: Koordinatenform in / aus Normalenform

geht auch ziemlich schnell. Erklären wir anhand eines Beispiels.

Beispiel t.            (Koordinatenform in Normalenform)
Sei  E : 6x1+3x2–6x3=12        Geben Sie E in Normalenform an!

Lösung:
Wir kennen ja den Normalenvektor: 

Die Normalenform sieht immer so aus:

irgendein Punkt der Ebene ist beispielsweise der Spurpunkt P( 2 | 0 | 0 )
[wenn man den in die Koordinatengleichung einsetzt, kommt 12 = 12 raus]

also lautet unsere Normalenform: 

Normalenform in Koordinatenform

Auch das erklären wir anhand eines Beispiels.

Beispiel u.            (Normalenform in Koordinatenform)

Sei  

Lösung:
Bekannt ist der Normalenvektor

V.01.09 | Spurpunkte von g einzeichnen => besondere Lage

Die  Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen.

Zur Erinnerung:
    die x1x2-Ebene (die Bodenebene) hat die Koordinatengleichung:    x3=0
    die x1x3-Ebene (die Seitenebene) hat die Koordinatengleichung:    x2=0
    die x2x3-Ebene (die Tafelebene) hat die Koordinatengleichung:      x1=0

Beispiel v.

Nehmen wir an, wir wollen die Spurpunkte der Geraden 

Lösung:
Der Spurpunkt mit der x1x2-Ebene:        Es gilt:  x3=0
Daher betrachtet man die x3-Koordinate der Geraden (die unterste Zeile)
x3= -2+2t    und setzt diese =0
x3 = 0    ⇒    -2+2t = 0    ?    -2=-2t    ?    1=t.      

t=1 wieder in  g  einsetzen:

t=1 in  

⇒   Spurpunkt mit der x1x2-Ebene    S1,2(4|6|0)

Spurpunkt mit der x1x3-Ebene, für welche x2=0 gilt.
Man betrachtet die x2-Koordinate der Geraden (die mittlere Zeile)
x2= 4+2t  und  setzt diese Null.
x2 = 0    ⇒    4+2t = 0    ?    2t=-4    ?    t=-2
            t=-2 wieder in  g  einsetzen
t=-2 in 

⇒  Spurpunkt mit der x1x3-Ebene   S1,3(1|0|-6)

Der Spurpunkt mit der x2x3-Ebene, für welche x1=0 gilt.
Man betrachtet die x1-Koordinate der Geraden (die oberste Zeile)
x1= 3+t  und  setzt diese =0
x1 = 0    ⇒    3+t = 0    ?    t=-3
            t=-3 wieder in  g  einsetzen
t=-3 in 

⇒  Spurpunkt mit der x2x3-Ebene  S2,3(0|-2|-8)

Beispiel w.

Bestimmen Sie die Spurpunkte der Geraden   

Lösung:
Der Spurpunkt mit der x1x2-Ebene.    Es gilt:  x3=0  ⇔  1+r=0  ⇔  r=-1
r=-1 in 

⇒  Spurpunkt mit der x1x2-Ebene:  S12(3|3|0)

Der Spurpunkt mit der x1x3-Ebene.    Es gilt:  x2=0  ⇔  1–2r=0  ⇔  r = ½

⇒  Spurpunkt mit der x1x3-Ebene:    S13(1,5|0|1,5)

Spurpunkt mit der x2x3-Ebene. Es gilt: x1=0 ⇔ 2–r = 0 ⇔ r = 2

⇒   Spurpunkt mit der x2x3Ebene: S23(0|-3|3)

Besondere Lagen

Eine besondere Lage einer Geraden im Koordinatensystem hat man, wenn die Gerade parallel zu einer Koordinatenachse oder einer Koordinatenebene ist.
So eine „besondere Lage“ erkennt man an Nullen in der Geradengleichung.
Zuerst untersucht man den Richtungsvektor auf Nullen.
Falls an irgendeiner Stelle eine Null auftaucht, schaut man, ob in der gleichen Zeile auch der Stützvektor Null wird.

Ist die x1-Koordinate des Richtungsvektors(=R.V.) Null, so ist die Gerade parallel zur x2x3-Ebene (schließlich hat die x2x3-Ebene die Gleichung: x1=0).
    Ist zusätzlich auch die x1-Koordinate des Stützvektors Null, so ist die Gerade nicht nur parallel zur x2-x3-Ebene, sondern liegt sogar in dieser Ebene.
Ist die x2-Koordinate des R.V. Null, so ist die Gerade parallel zur x1x3-Ebene (schließlich hat die x1x3-Ebene die Gleichung: x2=0).
    Ist zusätzlich auch die x2-Koordinate des Stützvektors Null, so ist die Gerade nicht nur parallel zur x1x3-Ebene, sondern liegt sogar in dieser Ebene.
Ist die x3-Koordinate des R.V. Null, so ist die Gerade parallel zur x1x2-Ebene (schließlich hat die x1x2-Ebene die Gleichung: x3=0).
    Ist zusätzlich auch die x3-Koordinate des Stützvektors Null, so ist die Gerade nicht nur parallel zur x1x2-Ebene, sondern liegt sogar in dieser Ebene.
Sind x1- und x2-Koordinaten des R.V. Null, so ist die Gerade parallel zur x3-Achse.
    Sind zusätzlich auch die x1- und x2-Koordinate des Stützvektors Null, so ist die Gerade nicht nur parallel zur x3-Achse, sondern dann ist es sogar die x3-Achse (sieht vielleicht nur auf den ersten Blick nicht danach aus).
Sind x1- und x3-Koordinaten des R.V. Null, so ist die Gerade parallel zur x2-Achse.
    Sind zusätzlich auch x1- und x3-Koordinate des Stützvektors Null, so ist die Gerade nicht nur parallel zur x2-Achse, sondern dann ist es sogar die x2-Achse.
Sind x2- und x3-Koordinaten des R.V. Null, so ist die Gerade parallel zur x1-Achse .
    Sind zusätzlich auch x2- und x3-Koordinate des Stützvektors Null, so ist die Gerade nicht nur parallel zur x1-Achse, sondern dann ist es sogar die x1-Achse.

Beispiel x.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Geraden   

Lösung:

Diese Gerade ist parallel zur x1x3-Ebene  (die x2-Koordinate des Richtungsvektor ist Null, die x2-Koordinate des Stützvektors ist jedoch nicht Null).
[Dass die x3-Koordinate des Stützvektors Null ist, interessiert nicht, da die dementsprechende Koordinate des Richtungsvektors nicht Null ist.]

Beispiel y.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Geraden  

Lösung:

g liegt in der x1x2-Ebene
[die x3-Koordinaten vom Richtungsvektor und vom Stützvektor sind Null]

Beispiel z.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Geraden  

Lösung:

g ist identisch mit der x2-Achse (Es ist also die x2-Achse).
[Die x1- und die x3-Koordinaten vom Richtungsvektor und vom Stützvektor sind Null.]

Beispiel aa.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Gerade   

Lösung:

An dieser Geraden ist nichts besonders. Sie liegt irgendwie im Universum.

V.01.10 | Spurpunkte von E einzeichnen => besondere Lage

Die  Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
      Spurpunkte heißen deswegen auch Achsenschnittpunkte !
Spurpunkte erhält man sehr einfach [zumindest, wenn die Ebene Koordinatenform hat].

Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen.
Spurgeraden erhält man am einfachsten, indem man zwei Spurpunkte zu einer Geraden verbindet.

Wie berechnet man Spurpunkte ?
Jeder Spurpunkt einer Ebene liegt ja auf einer der drei Koordinatenachsen, deswegen sind zwei seiner drei Koordinaten = Null.
Jeder Punkt, der auf der x1-Achse liegt, hat die Koordinaten  x2=0  und x3=0,
bei einem Punkt der x2-Achse ist x1=0 und x3=0.

Beispiel ab.

Nehmen wir also an, wir wollen die Spurpunkte der Ebene:    E : 2x1–4x2–2x3 = 8

Lösung:

Der Spurpunkt S1 (Schnitt mit x1-Achse) hat die Form  S1(x1|0|0).
Wenn man diesen in die Ebene E  einsetzt, erhält man:
    2·x1–4·0–2·0 = 8     ⇒     2·x1=8     ⇒     x1=4        ⇒             S1(4|0|0)

Der Spurpunkt S2 hat die Form: S2(0|x2|0)
⇒  2·0–4·x2–2·0 = 8   ⇒   -4x2=8   ⇒   x2=-2            ⇒                S2(0|-2|0)

S3 sieht so aus: S3(0|0|x3)  ⇒  2·0–4·0–2·x3=8  ⇒  x3=-4    ⇒        S3(0|0|-4)

Beispiel ac.

Berechnen Sie die Spurpunkte und Spurgeraden der Ebene E : 3x1–4x2+2x3=12.

Lösung:

Von den Spurpunkten wissen wir, dass sie immer folgende
Form haben:             S1(x1|0|0)    S2(0|x2|0)    S3(0|0|x3)

S1 :    3·x1–4·0+2·0=12    ⇒     x1 = 4        ?        S1(4| 0|0)
S2 :    3·0–4·x2+2·0=12    ⇒     x2 =-3        ?        S2(0|-3|0)
S3 :    3·0–4·0+2·x3=12    ⇒     x3 = 6        ?        S3(0|0| 6)

Wenn man je zwei von diesen drei Spurpunkten verbindet, erhält man wieder die Spurgeraden.
[Als Beispiel ist die Spurgerade durch S1 und S2 gleichzeitig auch der Schnitt unserer Ebene mit der x1,2 Koordinatenebene.]

Die Spurgeraden sind nun auch die einzige vernünftige Möglichkeit, wie man in ein Koordinatensystem eine Ebene einzeichnen kann. Wenn man sich das Dreieck anschaut, das von den Spurpunkten S1, S2 und S3 gebildet wird, kriegt man vielleicht eine Vorstellung, wie diese Ebene im Koordinatensystem liegen könnte.
[Wollte man nämlich die ganze Ebene anmalen, wäre im Normalfall jede Zeichnung ganz schwarz! Blöd sowas !]

Beispiel ad.

Bestimmen Sie Spurpunkte und Spurgeraden der Ebene E  : 2x1+1,5x2+3x3 = 6
Veranschaulichen Sie die Ebene im Koordinatensystem mit Hilfe ihrer Spurgeraden!

Lösung:

(Veranschaulichen von Ebenen bedeutet: die Ebene einzeichnen!)

Spurpunkte (kann man im Kopf rechnen): 

S1(3|0|0)     S2(0|4|0)     S3(0|0|2)

Spurgeraden:

(Wenn man sich die drei [fettgezeichneten] Spurgeraden anschaut, sieht man praktisch die Ebene.)

Ich hatte es anfangs bereits erwähnt: die Spurgeraden sind gleichzeitig auch der Schnitt jeder Ebene E mit den Koordinatenebenen.
Man könnte die Schnittgeraden also auch erhalten, in dem man den Schnitt Ebene-Koordinatenebene rechnet. Allerdings geht es zehnmal schneller, wenn man (so wie wir's hier gemacht haben) zuerst die Spurpunkte ausrechnet und daraus die Spurgeraden aufstellt. (selbst wenn die Spurpunkte nicht direkt gefragt sind).

Die wenigsten Lehrer nehmen die Achsenabschnittsform (AAF) einer Ebene durch. Die AAF ist somit nicht sonderlich wichtig.

Die AAF erhält man aus der Koordinatengleichung, indem man immer durch die Zahl teilt, die rechts vom „=“ Zeichen steht.
Für diejenigen, die die AAF lernen müssen, folgen zwei Beispiele von Spurpunktberechnungen über die Achsenabschnittsform der Ebene.

Beispiel ae.

Sei   E  :  2x1+3x2–4x3=12        Bestimme die Spurpunkte der Ebene E!

Lösung:

Rechts vom „=“ steht die Zahl „12“.
Wir teilen die Koordinatengleichung durch 12 und erhalten umgehend die AAF.
E : 2x1+3x2–4x3=12            | : 12

      Die Spurpunkte der Ebene stehen mehr oder weniger im Nenner der Brüche.
     S1(6|0|0)        S2(0|4|0)        S3(0|0|-3)

Beispiel af.

Gegeben ist die Ebene   E  :  5x1 + 2x2 –  8x3 = 36
Bestimme die Spurpunkte von E!

Lösung:

Auf der rechten Seite der Koordinatengleichung sollte eine „1“ stehen, daher teilen wir die Koordinatengleichung durch „36“.

     Diese Ebene ist steht schon fast in Achsenabschnittsform da.
Man muss nur noch die Zahlen im Zähler, nach unten bringen [Doppelbruch machen].
E in AAF umwandeln:  

          
Besondere Lage von Ebenen

Eine besondere Lage einer Ebene im Koordinatensystem hat man, wenn die Ebene parallel zu einer Koordinatenachse oder einer Koordinatenebene ist (also ähnlich wie die besondere Lage von Geraden).
So eine „besondere Lage“ erkennt man daran ob Spurpunkte existieren oder nicht.
[Man kann sie auch an den Nullen des Normalenvektors erkennen. Das erkläre ich hier aber nicht.]
Man sollte vorher also unbedingt die Spurpunkte der Ebene bestimmen [siehe weiter oben].

Existiert der Spurpunkt S1 nicht, so muss die Ebene parallel zur x1-Achse sein.
[Wenn der Spurpunkt S1 nicht existiert, bedeutet das nämlich, dass die Ebene und die x1-Achse keinen Schnittpunkt haben und dieses wiederum bedeutet, dass die beiden parallel sein müssen.]
Ist zusätzlich die freie Zahl [die Zahl, die normaler Weise rechts vom „=“ steht] Null, so enthält die Ebene die x1-Achse.
Existiert der Spurpunkt S2 nicht, so ist die Ebene parallel zur x2-Achse.
Ist zusätzlich die freie Zahl der Ebene Null, so enthält die Ebene die x2-Achse.
Existiert der Spurpunkt S3 nicht, so ist die Ebene parallel zur x3-Achse.
Ist zusätzlich die freie Zahl der Ebene Null, so enthält die Ebene die x3-Achse.
Existieren die Spurpunkte S1 und S2 nicht, so ist die Ebene parallel zur x1x2-Ebene.
Ist zusätzlich die freie Zahl der Ebene Null, so sind diese Ebene und die x1x2-Ebene identisch.
Existieren die Spurpunkte S1 und S3 nicht, so ist die Ebene parallel zur x1x3-Ebene.
Ist zusätzlich die freie Zahl der Ebene Null, so sind diese Ebene und die x1x3-Ebene identisch.
Existieren die Spurpunkte S2 und S3 nicht, so ist die Ebene parallel zur x2x3-Ebene.
Ist zusätzlich die freie Zahl der Ebene Null, so sind diese Ebene und die x2x3-Ebene identisch.

Beispiel ag

Bestimmen Sie die besondere Lage der Ebene    E : 2x1+4x3=6

Lösung:
Die Spurpunkte von E sind:  S1(3|0|0)  und S3(0|0|1,5).  S2 existiert nicht.
Die Ebene E ist also parallel zur x2-Achse.

Beispiel ah.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Ebene    E : 2x1+4x3=0

Lösung:
Die Spurpunkte von E sind:  S1(3|0|0)  und S3(0|0|1,5).  S2 existiert nicht.
[Besser gesagt: wenn man S2 ausrechnen will, stößt man auf eine wahre Aussage: 0=0]
Die freie Zahl der Ebene ist Null, die Ebene E enthält also die x2-Achse.

Beispiel ai.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Ebene    E : 2x1+2x2–x3=1

Lösung:
Diese Ebene hat keine besondere Lage.
Sie schneidet alle drei Achsen [sie hat drei Spurpunkte].

Beispiel aj.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Ebene    E : 2x1+2x2–x3=0

Lösung:
Diese Ebene hat keine besondere Lage. Als Höchstes der Gefühle könnte man sagen, dass sie den Ursprung enthält. [Wenn man O(0|0|0) einsetzt, stimmt die Punktprobe.]

Beispiel ak.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Ebene    E : x2–4x3=12

Lösung:
Die Spurpunkte von E sind:  S2(0|12|0)  und S3(0|0|-3).  S1 existiert nicht.
Die Ebene E ist damit parallel zur x1-Achse.

Beispiel am.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Ebene    E : x2–4x3=0

Lösung:
Die Spurpunkte von E sind:  S2(0|12|0)  und S3(0|0|-3).
S1 existiert nicht wirklich.   Die Ebene E enthält die x1-Achse.

Beispiel an.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Ebene    E : 4x3=12

Lösung:
Es gibt nur einen Spurpunkt von E:  S3(0|0|3)   S1 und S2 existieren nicht.
Die Ebene E ist damit parallel zur x1-x2-Ebene.

Beispiel ao.

Bestimmen Sie die besondere Lage der Ebene    E : 5x1=0

Lösung:
Es gibt eigentlich überhaupt keinen Spurpunkt von E.  Bei der Berechnung von S1 würde man immerhin den Ursprung erhalten. Bei der Ebene E handelt es sich damit um die x2-x3-Ebene.

V.01.11 | Ebenen einzeichnen

Zum Zeichnen von Ebenen benötigt man die Spurpunkte.
Man muss also vor dem Zeichnen die Spurpunkte berechnen, diese zeichnet man ein und verbindet sie.   Fertig ist die Ebene.

Beispiel ap.

Zeichnen Sie die Ebene  E : 2x1+1,5x2+3x3=6 in ein Koordinatensystem ein.
[Oft lautet die Formulierung auch: „Veranschaulichen von Ebenen im Koordinatensystem ...“.]

Lösung:
Zuerst bestimmen wir die Spurpunkte: S1(3|0|0)     S2(0|4|0)     S3(0|0|2)
Diese zeichnen wir ein und verbinden sie.
Das Dreieck, das man erhält, symbolisiert die gesuchte Ebene.

Beispiel aq.

Zeichnen Sie die Ebene  E : 2x1+4x3=6 in ein Koordinatensystem ein.

Lösung:
Zuerst bestimmen wir die Spurpunkte: S1 (3|0|0)     S2 ---     S3(0|0|1,5)
Da der Spurpunkt  S2  nicht existiert, ist die Ebene parallel zur x2-Achse. Wir verbinden daher die Spurpunkte S1 und S3 und zeichnen von da aus je eine Parallele zur x2-Achse.

Beispiel ar.

Zeichnen Sie die Ebenen  E : 3x1+2x2+3x3=6  und  F : 2x1+x2=2  in ein Koordina­tensystem ein.  Zeichnen Sie die Schnittgerade oder weitere Rechnung ein.

Lösung:
Die Spurpunkte von E sind:  S1(2|0|0)  S2(0|3|0)  S3(0|0|2),
die von F sind:   S1(1|0|0)   S2(0|2|0)   S3 ---
Nun zeichnen wir die Ebenen E und F wie in den letzten Beispielen. Da, wo beide Ebenen sich schneiden, erkennt man zwei Schnittpunkte. Verbindet man diese beiden, erhält man die Schnittgerade  s.