Was bedeuten schattenpreisen und reduzierte kosten

Schattenpreis ist ein Begriff aus dem Bereich der Mikroökonomie und Wohlfahrtsökonomik. Es gibt zwei Interpretationen des Schattenpreises, die im Rahmen eines allgemeinen Gleichgewichtes äquivalent sind. Der Schattenpreis eines Gutes ist entweder 1. der marginale Beitrag dieses Gutes zur Nutzenfunktion eines repräsentativen Akteurs oder 2. der Preis dieses Gutes in einem vollkommenen Markt.

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Wie berechnet man den Schattenpreis?
Was sind Schattenpreise Simplex?
Was sind Schattenpreise Mathematische Optimierung?

Der Schattenpreis wird definiert als „der Preis, der soziale Kosten und Nutzen widerspiegelt“.[1] Er ist das Resultat einer Totalanalyse und nicht lediglich einer Partialanalyse auf dem unmittelbar betroffenen Markt. Es handelt sich also um den Preis auf einem Markt, in dem alle Externalitäten internalisiert wurden. Im gesellschaftlichen Optimum entspricht er den sozialen Opportunitätskosten. Formal ist der Schattenpreis eines Gutes sein marginaler Beitrag zur Nutzenfunktion eines repräsentativen Agenten:

p=∂U∂x{\displaystyle p={\frac {\partial U}{\partial x}}}

wobei p{\displaystyle p}

der Schattenpreis, U{\displaystyle U}

die Nutzenfunktion und x{\displaystyle x}

die Menge des teilbaren Gutes. Er kann auch als Ergebnis einer Lagrange-Optimierung dargestellt werden – der Schattenpreis eines Guts entspricht dabei seinem Lagrange-Multiplikator.[2]

Ein spezieller Fall von Schattenpreis ist die soziale Diskontrate. Hier handelt es sich um einen intertemporalen Schattenpreis. Die soziale Diskontrate wird seit Frank Ramsey üblicherweise definiert als:

r=δ+γg{\displaystyle r=\delta +\gamma g}

wobei r{\displaystyle r}

(manchmal auch ρ{\displaystyle \rho }

) die Diskontrate ist, δ{\displaystyle \delta }

die Zeitpräferenzrate, g{\displaystyle g}

die Wachstumsrate des Konsums und γ{\displaystyle \gamma }

ein Gewichtungsfaktor dieser, die relative Aversion gegenüber intertemporaler Ungleichheit.

Schattenpreise können mit verschiedenen Bewertungsmethoden geschätzt werden. Dazu gehören insbesondere Methoden offenbarter Präferenzen (Reisekostenmethode, Hedonische Methode) sowie Methoden geäußerter Präferenzen (Kontingente Bewertungsmethode, Choice Experiment). Dabei werden marginale Zahlungsbereitschaften berechnet, die als Näherungen von Schattenpreisen gelten. Die Ermittlung von Schattenpreise findet besonders häufig im Kontext der umweltökonomischen Bewertung statt.

In der Aufgabenstellung ist der Inhalt ausgewählter Vitamine in Milligramm pro Kilogramm von verschiedenen Lebensmitteln und die empfohlene Tagesdosis für diese Vitamine gegeben. Die empfohlene Tagesdosis (RDA) soll möglichst gut nur durch diese vier Lebensmittel abgedeckt werden. Wie viel sollte man zu sich nehmen? Diese Frage wurde mittels Excel Solver gelöst.

1. Berechnung der summierten absoluten Abweichung

Folgende Tabelle wurde in Excel erstellt (lt. Angabe):

Für die absolute Abweichung ist es notwendig das Optimierungsproblem zu linearisieren. Dafür wurden Nebenbedingungen erstellt (siehe Abbildung rechts).

Die linke Seite wird mit dem Absolutbetrag der Einnahme berechnet. Die rechte Seite stellt den RDA dar. Um das Minimum zu berechnen, benötigen wir die Bedingung größer-gleich.

Was macht die Funktion ABS(X) eigentlich? Wenn der Wert von diesem X positiv oder Null ist, ist es X selbst. Ist X negativ, dann ist es -X. Das heißt, dass Minimum sollte immer größer als Null sein, sonst würde die Einschränkung keinen Sinn ergeben.

Nun kann die Berechnung in Solver (Daten - Solver) eingegeben werden. Dazu werden das Ziel (dunkelblaue Zelle), die veränderbaren Variablenzellen (Bedarf mg/kg) und die Nebenbedingungen festgelegt. Bei der Auswertung kann ein Haken bei "Sensitivitätsanalyse" gesetzt werden, um das Ergebnis zu erhalten.

Somit erhalten wir die minimierte summierte absolute Abweichung von 4,10587 Gramm des Tagesbedarfs. Die genauen Einnahmen, um die empfohlene Tagesdosis (RDA) möglichst gut nur durch diese vier Lebensmittel abzudecken, kann man nun aus der obigen Tabelle ablesen.

Sensitivitätsanalyse:

Die Sensitivitätsanalyse beschäftigt sich mit den Auswirkungen von Änderungen der ursprünglichen Daten auf die Optimallösung, das heißt es werden die möglichen Veränderungen der Zielfunktionskoeffizienten, der rechten Seite und der Koeffizienten der Nebenbedingungen getestet, ohne dass das Ergebnis der optimalen Lösung verschlechtert wird.

Bei den Analysen gehen wir von einem Maximierungsproblem aus. Die vielen Fachbegriffe der Sensitivitätsanalyse werden mit Hilfe des oben erstellten Vitamin-Beispiels erklärt.

Diese Tabelle wird von dem Excel-Solver erstellt. Nun zu den gelieferten Informationen.

Die zulässige Erhöhung bzw. Verringerung der Zielkoeffizienten gibt an, zwischen welchen Werten der Zielkoeffizient variieren darf, ohne die Endpunktlösung zu beeinträchtigen. Diese Lösung wird mit Hilfe der Ergebnisse des dualen Problems berechnet. Der Zielkoeffizient der Erbsen kann zwischen 25,2724… und 58,9275… variieren, ohne dass der Simplexalgorithmus erneut durchgeführt werden muss.

Die reduzierten Kosten geben an, um welchen Betrag sich die Zielkoeffizienten reduzieren müssten, damit dieses Produkt in der Lösung vorkommt. Hier ist es nur bei den Champignons relevant, da diese einen Endwert 0 (kommen nicht in der Lösung vor) haben. Möchte ich Champignons für meinen Tagesbedarf essen, muss der Zielkoeffizient von 56,8 um 5,7569… reduziert werden, d.h. der neue Zielkoeffizient wäre 51,0431… Die anderen Lebensmittel kommen in der Lösung vor, daher sind hier die reduzierten Kosten 0.

Der Schattenpreis gibt an, um wie viel sich der Zielfunktionswert ändert, wenn die Kapazität der entsprechenden Ressource um eine Einheit erhöht wird. Ist der Schattenpreis 0, dann ist kein Engpass.

In unserem Beispiel ist der Schattenpreis für Vitamin E 1,7253. Das heißt, der Schattenpreis gibt an, dass sich pro Einheit ein Milligramm um 1,7253 ändert, in den Grenzen 9,925703 ≤ 12 ≤ 12,4. Genauso lässt es sich für die anderen Vitamine berechnen. Für die Vitamine B1/B2 gibt es keinen Engpass, da die rechte Seite der Nebenbedingung nicht aufgebraucht wurde. Daher kann der Grenzwert beliebig verringert, aber nur um 3,75/0,36 erhöht werden.

2. Berechnung der relative Abweichung

Die relative Abweichung zu berechnen, ist sinnvoll, da die Größenverhältnisse bei den verschiedenen Vitaminen stark variieren. Dazu wurde das Optimierungsproplem angepasst.

Die Werte in der Tabelle wurden prozentmäßig auf den RDA berechnet. Das heißt der Vitamin B1 - Gehalt der Champignons beträgt 81,82 % der Tagesdosis (RDA). Die relative Abweichung lässt sich durch die volle Tagesdosis von 100% minus die tatsächliche Einnahme berechnen.

Unser Ziel ist wiederum die dunkelblau-markierte Zelle. Auch die Veränderung der Variablenzellen bleibt gleich (hellblau). Die Nebenbedingungen sind: Einnahme muss kleiner-gleich RDA 100% sein.

Somit erhalten wir die optimale relative Abweichung von 61,19463 % des Tagesbedarfs.

Sensitivitätsanalyse:

Auch bei dieser Sensitivitätsanalyse gilt das gleiche wie oben. Zu bedenken ist dabei, dass bei der relativen Abweichung die Zahlen in Prozent angegeben sind.

Wie berechnet man den Schattenpreis?

Ermittlung. Schattenpreise können mit verschiedenen Bewertungsmethoden geschätzt werden. Dazu gehören insbesondere Methoden offenbarter Präferenzen (Reisekostenmethode, Hedonische Methode) sowie Methoden geäußerter Präferenzen (Kontingente Bewertungsmethode, Choice Experiment).

Was sind Schattenpreise Simplex?

Man nennt diese Koeffizienten Schattenpreise oder Opportunitätskosten, denn sie zeigen an, wieviel man verliert, wenn eine Einheit der Nichtbasisvariablen anderweitig investiert wird.

Was sind Schattenpreise Mathematische Optimierung?

Schattenpreise sind ein Begriff der linearen Programmierung. Es sind die Opportunitätskosten der verdrängten Faktoren. Produktionsprogramm, gewinnoptimales.

bedeuten schattenpreisen und reduzierte kosten