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Was ist eine trigonometrische Gleichung?Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in welcher mindestens eine trigonometrische Funktion Sinus, Cosinus oder Tangens vorkommt. Um solche Gleichungen zu lösen, benötigst du einen Taschenrechner. Achte darauf, dass dieser auf DEG für degree, also Winkelmaß, eingestellt ist. Lösen von trigonometrischen Gleichungen$\sin(x)=c$Eine trigonometrische Gleichung ist zum Beispiel durch $\sin(x)=0,5$ gegeben. Es werden also alle Werte für $x$ gesucht, für welche $f(x)=\sin(x)=0,5$ ist. Schaue dir den Graphen der Funktion $f(x)=\sin(x)$ an.
$\quad~~~x_1^{(k)}=30^\circ+k\cdot 360^\circ$, $k\in\mathbb{Z}$ sowie $\quad~~~x_2^{(k)}=150^\circ+k\cdot 360^\circ$, $k\in\mathbb{Z}$. Ähnlich erhältst du alle Lösungen, wenn auf einer Seite der Gleichung eine negative Zahl steht: $\sin(x)=-0,5$.
$\quad~~~x_1^{(k)}= -30^\circ-k\cdot 360^\circ$, $k\in\mathbb{Z}$ sowie $\quad~~~x_2^{(k)}= -150^\circ-k\cdot 360^\circ$, $k\in\mathbb{Z}$. $\cos(x)=c$
Beispiel: $\cos(x)=\frac1{\sqrt2}$ Dann ist $x_1=\cos^{-1}\left(\frac1{\sqrt2}\right)=45^\circ$. Nun ist $x_2=-45^\circ$ und $\quad~~~x_1^{(k)}=45^\circ+k\cdot 360^\circ$, $k\in\mathbb{Z}$ sowie $\quad~~~x_2^{(k)}=-45^\circ+k\cdot 360^\circ$, $k\in\mathbb{Z}$. $\tan(x)=c$
Beispiel: $\tan(x)=1$
$\quad~~~x^{(k)}=45^\circ+k\cdot 180^\circ$, $k\in\mathbb{Z}$. Trigonometrische Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen und demselben ArgumentWie kannst du trigonometrische Gleichung lösen, in der zwei verschiedene Winkelfunktionen mit demselben Argument vorkommen? $(\cos(x))^3-2\cos(x)\cdot \sin^2(x)=0$
$\quad~~~\cos(x)\left(\cos^2(x)-2 \sin^2(x)\right)=0$
$\quad~~~1-\sin^2(x)-2 \sin^2(x)=1-3\sin^2(x)=0$.
$\quad~~~\begin{array}{rclll} 1-3\sin^2(x)&=&0&|&+3\sin^2(x)\\ 1&=&3\sin^2(x)&|&:3\\ \frac13&=&\sin^2(x)&|&\sqrt{~~~}\\ \pm\frac1{\sqrt3}&=&\sin(x)&|&\sin^{-1}(~~~)\\ \pm35,3^\circ&\approx&x \end{array}$
Trigonometrische Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen und unterschiedlichen ArgumentenEine solche Gleichung ist zum Beispiel gegeben durch $\cos(x)-\sin\left(\frac x2\right)=0$. Hier tauchen nicht nur zwei verschiedene Winkelfunktionen auf, sondern auch noch verschiedene Argumente.
$\quad~~~\cos(x)=\cos\left(2\cdot\frac x2\right)$ $\quad~~~$mit Hilfe eines Additionssatzes umgeschrieben: $\quad~~~\cos\left(2\cdot \frac x2\right)=1-2\sin^2\left(\frac x2\right)$.
$\quad~~~1-2\sin^2\left(\frac x2\right)-\sin\left(\frac x2\right)=0$
$\quad~~~z=\sin\left(\frac x2\right)$ $\quad~~~$substituierst, erhältst du die quadratische Gleichung $1-2z\^2-z=0$. * Diese kannst du mit der **p-q-Formel** lösen. Hierfür stellst du die Gleichung um $-2z\^2-z+1=0$ und dividierst durch $-2$. $\quad~~~\begin{array}{rclll} -2z\^2-z+1&=&0&|&:(-2)\\\ z\^2+\frac12z-\frac12&=&0\\\ z_{1,2}&=&-\frac14\pm\sqrt{\frac1{16}+\frac12}\\\ z_1&=&-\frac14+\frac34=\frac12\\\ z_2&=&-\frac14-\frac34=-1 \end{array}$
$\quad~~~~\sin\left(\frac x2\right)=\frac12$ sowie $\quad~~~~\sin\left(\frac x2\right)=-1$.
Alle Videos zum ThemaVideos zum ThemaGleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens (5 Videos) Alle Arbeitsblätter zum ThemaArbeitsblätter zum ThemaGleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens (3 Arbeitsblätter) Wann ist Cosinus gleich Null?Der Graph der Kosinusfunktion f(x)=cosx (mit x∈ℝ) ist gegenüber dem Graphen der Sinusfunktion um π2 in Richtung der negativen x-Achse verschoben. Deshalb gilt für die Nullstellen von f(x)=cosx, dass das alle Werte x mit x∈{π2+k⋅π, k∈ℤ} sind.
Was bedeutet cos X?Die Kosinusfunktion ordnet jedem Winkel eine Streckenlänge zu. Die Länge der blau gezeichneten Strecke gehört dabei zu dem Winkel x. Ist x zum Beispiel mit 60° gegeben, so ist die Länge der blauen Strecke 0,5. Daher ist cos 60°=0,5.
Welche Werte kann cos annehmen?Man kann auch hier erkennen, dass Sinus und Kosinus nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen.
Wann wird cos maximal?Der genau Wert von cos(0) cos ( 0 ) ist 1 1 . Mutltipliziere −1 - 1 mit 1 1 . x=0 ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist.
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