Wie werden potenzen mit gleichem exponent dividiert

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Das Dividieren von Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Exponenten funktioniert so ähnlich wie beim Multiplizieren.

Betrachten wir eine Division:

\( {2}^{3} : {3}^{3} = \text{?} \)

Hier können wir den Term als Bruch notieren und die Potenzen ausschreiben:

$$ \frac{2^3}{3^3} = \frac{2·2·2}{3·3·3} $$

Diesen Bruch können wir in mehrere Brüche aufteilen:

$$ \frac{2·2·2} {3·3·3} = \frac{2}{3} · \frac{2}{3} · \frac{2}{3} $$

Hier fällt nun auf, dass wir den Bruch, der drei Mal als Faktor auftritt, auch als Potenz schreiben können:
$$ \frac{2}{3} ·\frac{2}{3} · \frac{2}{3} = {(\frac{2}{3})}^{3} = (2:3)^3 $$

Wir fassen zusammen:

$$ {2}^{3} : {3}^{3} = (2:3)^3 $$

Oder in der Bruchschreibweise:

$$ \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3 $$

Als Rechenregel erhalten wir damit:

$$ {x}^{n} : {y}^{n} = {(\frac{x}{y})}^{n} $$

Du verstehst einfach nur Bahnhof, wenn es um das Rechnen mit Potenzen geht?
Die Potenzgesetze zu kennen und anwenden zu können, ist von großer Bedeutung für das richtige Vereinfachen von Gleichungen.

Wir erklären dir in diesem Beitrag alle Regeln, die du beachten musst, um den Anschluss nicht zu verpassen. Damit du dein Wissen verfestigen kannst, findest du auch eine große Auswahl an Übungsaufgaben.

Los geht’s

Potenzregel spezieller Potenzen

• Jede Basis mit dem Exponenten 0 ist 1:

• Jede Basis mit dem Exponenten 1 ist die Basis:

• Die Basis 1 mit einem beliebigen Exponenten ist 1:

• Die Basis 0 mit einem beliebigen Exponenten ist 0:

Potenzen multiplizieren und dividieren

Um Potenzen multiplizieren und dividieren zu können, müssen sie mindestens die gleiche Basis oder den gleichen Exponenten haben. Wie du in dem jeweiligen Fall vorgehen musst, kannst du in den folgenden zwei Unterkapiteln lesen.

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren und dividieren

• Wenn wir zwei Potenzen mit einer gleichen Basis multiplizieren wollen, dann können wir die Exponenten addieren:

• Wenn wir zwei Potenzen mit einer gleichen Basis dividieren wollen, dann können wir die Exponenten subtrahieren:

Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren und dividieren

• Wenn wir zwei Potenzen mit einem gleichen Exponent multiplizieren, können wir diese folgendermaßen zusammenfassen:

• Wenn wir zwei Potenzen mit einem gleichen Exponent dividieren, können wir diese so vereinfachen:

Potenzen addieren und subtrahieren

Das Addieren und Subtrahieren von Potenzen ist nur dann möglich, wenn die Potenzen die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben.

Natürlich können wir, wenn die Potenzen keine Variablen enthalten, die Klammern auflösen und addieren/subtrahieren.

Bei gleicher Basis und einer Unbekannten lässt sich höchstens eine Potenz ausklammern:

Sind Exponent und Basis gleich, können die Potenzen addiert oder subtrahiert werden:

Negative Potenzen

Negative Basis

Potenzen mit einer negativen Basis sind negativ, wenn der Exponent ungerade ist und positiv, wenn der Exponent einer geraden Zahl entspricht:

wenn der Exponent gerade ist:

Negativer Exponent

Bei einem negativen Exponenten können wir die Potenz so umschreiben:

denn

Potenzgesetz Zweimal potenzieren

Wenn eine Basis einen Exponenten hat und die Potenz nochmal mit einer Zahl hochgenommen wird, kommt die Regel “zweifach potenzieren” zum Einsatz.

Aber vorsichtig bei

Potenzgesetze für Brüche im Exponenten

Steht im Exponent ein Bruch, können wir diesen in eine Wurzel umschreiben:

Potenzgesetze Aufgaben – Rechnen mit Potenzen

Und jetzt wird trainiert, denn Übung macht den Meister!

Übungaufgaben

Potenzrechnung FAQ

Was ist eine Potenz?

Mithilfe von Potenzen wird ausgedrückt, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Der Potenzwert ergibt sich aus einer Basis, die mit einem Exponenten hoch genommen wird.

Wie dividiert man Potenzen?

Man kann Potenzen mit gleicher Basis oder mit gleichem Exponenten dividieren. Bei gleicher Basis, werden die Exponenten subtrahiert und die Basis wird beibehalten. Beim gleichen Exponenten werden die Basen dividiert und man behält die Exponenten bei.

Wie multipliziert man Potenzen?

Man kann Potenzen mit gleicher Basis oder mit gleichem Exponenten multiplizieren. Bei gleicher Basis, werden die Exponenten addiert und die Basis wird beibehalten. Beim gleichen Exponenten lässt sich der Exponent ausklammern.

Wir hoffen, dir hat der Artikel geholfen und du kannst nun sicher mit Potenzen rechnen. Wenn du noch mehr Übungsaufgaben benötigst, schau dir mal diese Übungen an.

Wenn du noch konkrete Fragen hast, stell sie uns gerne in den Kommentaren! 🙂

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