Wann sind zwei beschränkte funktionen auf dem gleichen intervall integrierbar

Um Flächen zu bestimmen, die von krummlinigen Funktionsgraphen und der

-Achse eingeschlossen werden, entwickelte der Mathematiker Bernhard Riemann die Integralrechnung. Der Grundgedanke hinter den so genannten „Riemann-Summen“ ist, dass sich jede derartige Fläche in eine Vielzahl von schmalen Rechtecken zerlegen lässt, wobei die Grundseiten aller Rechtecke auf der

-Achse liegen und die Höhen der Rechtecke durch die Funktionswerte an den jeweiligen Stellen gegeben sind. Die Summe der Flächen aller Rechtecke ergibt dann die Fläche zwischen dem Funktionsgraph und der

-Achse.

Inhaltsverzeichnis Show

Integrierbarkeit und Stammfunktion¶
Grundintegrale¶
Zusammenfassung wichtiger Integrationsregeln¶
Integrationsmethoden¶
Ist jede beschränkte Funktion integrierbar?
Wann ist die Funktion integrierbar?
Wann Funktion nicht integrierbar?
Kann jede Funktion integriert werden?

Untersumme und Obersumme als Näherungen für den Flächeninhalt zwischen einem Funktionsgraphen und der

-Achse.

Je nachdem, ob man als Höhe jedes Rechtecks jeweils den kleineren oder größeren der Funktionswerte beider Randpunkte wählt, füllen die Rechtecke die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen entweder nicht ganz aus, oder sie ragen stets an einer Seite über den Funktionsgraphen hinaus. Die Summen der so gewählten Rechteck-Flächen werden dementsprechend als Untersumme

bzw. Obersumme

bezeichnet. Für

Unterteilungen mit einer Breite von jeweils

gilt:

Für die Fläche

unterhalb des Funktionsgraphen

zwischen den zwei Punkten

und

gilt somit:[1]

Unterteilt man bei einer beliebigen Funktion den Bereich zwischen

und

in eine größere Zahl an schmaleren Rechtecken, so lassen sich die Abweichungen der einzelnen Rechteckshöhen von den jeweiligen Funktionswerten verringern und damit die Werte der Unter- und Obersumme angleichen. Bei einer (theoretischen) Unterteilung in unendlich viele, dafür beliebig schmale Rechtecke haben die Unter- und Obersumme den gleichen Grenzwert, der mit der gesuchten Fläche

identisch ist.

Integral als Riemann-Summe für infinitessimal kleine Unterteilungen von

Mathematisch wird die Annäherung der Ober- und Untersumme bei unendlich vielen, infinitessimal kleinen Unterteilungen durch das so genannte Integralzeichen

anstelle von

gekennzeichnet. Zudem wird anstelle von

für die Breite jedes einzelnen Rechtecks

geschrieben:

Der Ausdruck

wird dabei Integral von

über

genannt. Die Funktion

wird als Integrand und

bzw.

als Integrationsgrenzen bezeichnet.

Integrierbarkeit und Stammfunktion¶

Ein Integral

einer Funktion

über das Intervall

lässt sich immer dann eindeutig berechnen, wenn die Funktion stetig ist, der Funktionsgraph also keine Sprünge aufweist. Das gleiche gilt für bereichsweise definierte Funktionen, die in den einzelnen Bereichen Stetigkeit aufweisen und beschränkt sind, also keine Unendlichkeitsstellen besitzen. Jede Funktion, die diese Bedingung erfüllt, wird integrierbar genannt.

Der Wert eines Integrals

lässt sich am einfachsten berechnen, wenn man zur gegebenen Funktion

eine so genannte „Stammfunktion“

findet. Eine solche Stammfunktion hat die Eigenschaft, dass ihre erste Ableitung

gerade der ursprünglichen Funktion

entspricht. Als Zusammenhang zwischen der Stammfunktion und der zu integrierenden Funktion gilt für alle

also:

Die Integration kann also als Umkehrung der Differentiation angesehen werden. Während jedoch das Ableiten einer Funktion stets ein eindeutiges Ergebnis liefert, ist die Bestimmung der Stammfunktion nicht eindeutig: Ist

eine Stammfunktion von

, so ist jede Funktion

mit einer additiven Konstante

ebenfalls eine Stammfunktion von

, da ein konstanter Term beim Ableiten stets den Wert Null ergibt. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen wird „unbestimmtes Integral“ genannt und mittels

, also ohne konkrete Integrationsgrenzen geschrieben.

Anfangsbedingung und Integralfunktion

Aus der Menge aller Stammfunktionen soll üblicherweise eine bestimmt werden, die durch einen gegebenen Punkt

verläuft. Eine solche Forderung nennt man Anfangsbedingung.

Soll das Integral von einer festen Grenze

bis zu einer variablen Grenze

verlaufen, so ist das Integral gleich Null, wenn

ist, da in diesem Fall keine Fläche aufgespannt wird. Die Anfangsbedingung besteht somit darin, dass die Stammfunktion an der Stelle

eine Nullstelle aufweisen muss. Es muss also gelten:

Dieser Gedanke folgt daraus, dass man

als so genannte Integralfunktion interpretiert, die jeweils den Wert des Integrals liefert, wenn die untere Grenze

und die oberen Grenze

entspricht. Mit der obigen Anfangsbedingung erhält man somit als Wert für das bestimmte Integral über die Funktion

von

bis

Als Kurzschreibweise ist hierbei

üblich. Möchte man das Integral über eine Funktion

zwischen zwei bestimmten Grenzen

und

berechnen, so genügt es also, die Stammfunktion zu bestimmen, die Werte

und

in die Stammfunktion einzusetzen und die Differenz beider Werte zu berechnen:

Die Schwierigkeit bei der Integralrechnung besteht folglich darin, eine Stammfunktion

zur gegebenen Funktion

zu finden.

Grundintegrale¶

Von den elementaren Funktionen sowie einigen Kombinationen dieser Funktionen gibt es unmittelbare Lösungsformeln zur Bestimmung der jeweiligen Stammfunktion.

Integralregeln für Potenz- und Wurzelfunktionen

Ist die Funktion
mit
eine konstante Funktion, so gilt für die Stammfunktion
:
Anschaulich entspricht der Wert von
der Fläche des Rechtecks mit der Breite
, das zwischen der konstanten Funktion und der
-Achse liegt und die Länge
hat.
Ist die Funktion
eine allgemeine Potenzfunktion mit der Einschränkung
, so gilt für die Stammfunktion
:

Dieses Ergebnis folgt daraus, dass die Ableitung der Funktion
dem Term
entspricht. Die ursprüngliche Funktion
unterscheidet sich lediglich um den Faktor
von diesem Ableitungsterm.
Ist beispielsweise
, also
, so ist
eine Stammfunktion. Anschaulich entspricht der Term
der Fläche eines Dreiecks, das zwischen dem Graphen
und der
-Achse liegt; diese Fläche ist gleich der Hälfte der Quadratfläche von
.
Integrale von linearen Funktionen treten in den Naturwissenschaften häufig auf, beispielsweise gilt für die zurückgelegte Wegstrecke
bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung
, wobei in diesem Fall die Integrationsvariable die Zeit
ist. Weitere Beispiele sind die Bewegungs- und Spannenergie, usw.
Die obige Integrationsregel (5) gilt wegen des Zusammenhangs
auch für Wurzelfunktionen. Beispielsweise gilt im Fall
mit
:
Ist
mit
, so ist eine Anwendung der obigen Regel (5) nicht möglich. Für diesen Sonderfall gilt vielmehr folgender Zusammenhang:

Die Stammfunktion der Hyperbelfunktion
ist also die natürliche Logarithmusfunktion
.[2]

Integralregeln für Exponentialfunktionen

Ist
mit
als Eulerscher Zahl, so gilt für die Stammfunktion
:
Ebenso wie die natürliche Exponentialfunktion beim Ableiten unverändert bleibt, so bleibt sie auch beim Integrieren unverändert.
Ist
mit
und
, so gilt für die Stammfunktion
:
Auch die allgemeine Exponentialfunktion ergibt beim Integrieren wieder eine Exponentialfunktion, wobei der Vorfaktor
berücksichtigt werden muss.

Integralregeln für trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen

Ist
, so gilt für die Stammfunktion
:
Dieser Zusammenhang ergibt sich daraus, dass die Ableitung der Cosinusfunktion der negativen Sinusfunktion entspricht.
Ist
, so gilt für die Stammfunktion
:
Dieser Zusammenhang ergibt sich daraus, dass die Ableitung der Sinusfunktion der Cosinusfunktion entspricht.

Zusammenfassung wichtiger Integrationsregeln¶

Für jedes Integral gelten folgende Eigenschaften:

Vertauscht man die obere und die untere Integrationsgrenze, so ändert das Integral sein Vorzeichen:
(10)¶
Der Grund dafür liegt darin, dass hierbei die Breiten aller Rechtecke
für
ein negatives Vorzeichen bekommen und somit bei der Auswertung des Integrals über gleich große, aber negative Werte summiert wird.
Ist die obere Integrationsgrenze
gleich der unteren Grenze
, so ist das Integral für jede beliebige Funktion
gleich Null:
(11)¶
Anschaulich lässt sich dies dadurch erklären, dass die Fläche zwischen
und
eine Breite von Null hat.
Jedes Integral lässt sich auf folgende Weise in zwei Teilintegrale zerlegen:
(12)¶
Ist
, so ist umittelbar einleuchtend, dass die Fläche zwischen
und
gleich der Summe der Teilflächen sein muss, da sich das Intervall
in zwei Teilintegrale
zerlegen lässt und die entsprechenden Teilsummen gebildet werden können.
Die Regel gilt jedoch auch dann, wenn
außerhalb von
liegt; ist beispielsweise
, so wird die – gegenüber dem Gesamtintegral – mit dem ersten Teilintervall zusätzlich addierte Fläche aufgrund der Vorzeichenregel (10) durch das zweite (negative) Teilintegral wieder subtrahiert.
Lässt sich eine zu integrierende Funktion als Summe zweier Funktion
und
darstellen, so ist das Ergebnis gleich der Summe der Integrale beider Funktionen:
(13)¶
Die obige Regel entspricht formal dem Distributivgesetz.
Lässt sich eine zu integrierende Funktion als Produkt einer Funktion
und eines konstanten Faktors
darstellen, so kann dieser vor das Integral gezogen werden:
(14)¶
Die obige Regel entspricht dem Assoziativgesetz der Multiplikation. Anschaulich kann man sich jeden Funktionswert und damit die Höhe aller zu addierenden Rechtecke um den Faktor
gestreckt denken.
Erfüllen zwei Funktionen
und
für jeden beliebigen Wert
innerhalb des Intervalls
die Bedingung
, so gilt:

Bestimmung der Fläche zwischen zwei Graphen

Mittels der Integralrechnung kann nicht nur die Fläche zwischen einem Funktionsgraph und der

-Achse, sondern auch die zwischen zwei Funktionsgraphen

und

in einem Intervall

eingeschlossene Fläche berechnet werden. Verläuft der Graph von

oberhalb des Graphen von

, gilt also

für alle

, so entspricht die gesuchte Fläche folgendem Integral:[3]

(15)¶

Schneiden sich Schnittpunkte zweier Funktionen, so müssen zunächst die Schnittstellen berechnet werden; anschließend kann einzeln von Schnittstelle zu Schnittstelle integriert werden. In jedem einzelnen Teilintervall wird dabei die Funktion mit den niedrigeren Funktionswerten von der Funktion mit den höheren Funktionswerten subtrahiert.

Integrationsmethoden¶

In vielen Fällen, insbesondere bei zusammengesetzten Funktionen, lässt sich eine Integration nicht mittels der oben genannten Grundintegrale durchführen. In solchen Fällen können allerdings oftmals weitere Integrationsmethoden angewendet werden.

Partielle Integration

Die Methode der partiellen Integration entspricht formal einer umgekehrten Anwendung der Produktregel bei Ableitungen:

(16)¶

Diese Methode kann immer dann genutzt werden, wenn die zu integrierende Funktion als Produkt zweier Teilfunktionen geschrieben werden kann. Lässt sich eine dieser Funktionen leicht integrieren, so setzt man diese als

; die andere Teilfunktion, die sich möglichst leicht ableiten lassen sollte, wird als

gesetzt. Das Integral kann dann berechnet werden, indem man zunächst als Zwischenergebnis das Produkt von

und der Stammfunktion von

bildet, die obere und untere Integrationsgrenze als

-Werte einsetzt und beide Werte voneinander subtrahiert. Anschließend muss das Integral

berechnet werden und dessen Wert vom Zwischenergebnis subtrahiert werden.

Die Methode der partiellen Integration wird insbesondere dann verwendet, wenn eine der beiden Teilfunktionen eine Potenzfunktion

mit

ist. Bei einer derartigen Funktion ist die

-te Ableitung ein konstanter Wert, der beim Integrieren gemäß Gleichung (14) als konstanter Faktor vor das Integral gezogen werden kann. Gegebenenfalls muss folglich die Methode der partiellen Integration wiederholt angewendet werden (maximal

mal), um die jeweils auf der rechten Seite stehenden (Teil-)Integrale der Form

schrittweise zu berechnen.

Integration durch Substitution

Die Methode der Integration durch Substitution entspricht formal einer umgekehrten Anwendung der Kettenregel bei Ableitungen:

Hierbei wurde

geschrieben. Man kann mit dieser Substitution nach einer Stammfunktion

von

suchen, in gleicher Weise als würde man lediglich

anstelle von

schreiben und somit eine Stammfunktion

suchen. Hat man eine solche Stammfunktion

gefunden, so genügt es, bei dieser Stammfunktion wiederum

durch den Ausdruck

zu ersetzen.

Möchte man mit dieser Methode ein bestimmtes Integral von

bis

berechnen, so müssen allerdings auch die Integralgrenzen umgerechnet werden. Es gilt:

bekannt ist, müssen lediglich die Integrationsgrenzen in diese Funktion eingesetzt werden, um die neuen Integrationsgrenzen zu erhalten.

Integrale der Form

Soll das Integral einer zusammengesetzten Funktion berechnet werden, deren Zähler der Ableitung des Nenners entspricht, so kann folgende Regel verwendet werden:

Hat die Funktion

im Intervall

keine Nullstelle, so gilt für das bestimmte Integral über

von

bis

Weitere Integrale können Integraltabellen entnommen werden, beispielsweise Integraltabelle (HS Esslingen).

Anmerkungen:

[1]	Das Gleichheitszeichen in der obigen Gleichung gilt nur für konstante -Werte, also Funktionen der Form

[2]	Auch in diesem Fall ist die Integration die Umkehrung der Differentiation, denn die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ist gerade .

[3]	Formal ist Gleichung (15) zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen mit Gleichung (13) als Distributivgesetz der Integralrechnung identisch.

Ist jede beschränkte Funktion integrierbar?

Stetige Funktionen sind integrierbar. Satz: Eine beschränkte stetige Funktion f : [a, b] → R ist integrierbar. ε b − a · (xj+1 − xj) = ε. Somit ist f nach dem Riemannschem Kriterium integrierbar.

Wann ist die Funktion integrierbar?

Eine Funktion ist integrierbar, wenn sie zumindest stückweise stetig ist.

Wann Funktion nicht integrierbar?

Die Betrachtung von Integralen mit entweder unbeschränktem Integrationsintervall oder unbeschränktem Integranden führt zum Begriff des uneigentlichen Integrals. Funktionen, deren Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen, werden nicht geschlossen integrierbar genannt.

Kann jede Funktion integriert werden?

Stammfunktionen braucht man, um Flächen zwischen Funkionen zu berechnen. Im Gegensatz zu Ableitungen, wo man jede Funktion ableiten kann, kann man nicht jede Funktion integrieren [= „aufleiten“ = „Stammfunktion bilden“]. Im Allgemeinen kann man keine Produkte und keine Brüche integrieren.