0 hoch 0 gleich 0

Hallo allerseits,
0 / 0 ist undefiniert, weil ein die Festlegung eines Wertes für 0/0 zu einem Widerspruch führt.

Warum ist aber 0 hoch 0 undefiniert?
Führt
0 hoch 0 = c
zu einem Widerspruch?
Kann mir dies jemand zeigen ?

mfg
cx

Hallo Carlox!

2013-06-25 14:38 - carlox im Themenstart schreibt:
Warum ist aber 0 hoch 0 undefiniert?

Liebe Grüße, Franz

PS: Das Thema hatten wir übrigens schon mehrfach hier im Forum. Damit bereits Gesagtes nicht unnötig wiederholt zu werden braucht, empfiehlt es sich, dort erstmal einen Blick reinzuwerfen, z. B.:[1], [2], [3], [4]

2013-06-25 14:38 - carlox im Themenstart schreibt:
0 hoch 0 = c
zu einem Widerspruch?
Kann mir dies jemand zeigen ?

Der Logarithmus ist nun aber dort wirklich nicht mehr definiert.

-----------------
www.rankk.org

2013-06-25 15:01 - ZetaX in Beitrag No. 4 schreibt:
Der Logarithmus ist nun aber dort wirklich nicht mehr definiert.

€dit: Natürlich gibt es auch Fälle, wo das so nicht hinhaut, z.B. in dem verlinkten wikipedia-Artikel. Dient daher wohl eher der Plasusibilität für c = 1 oder c = 0.

2013-06-25 15:11 - cis in Beitrag No. 5 schreibt:

2013-06-25 15:01 - ZetaX in Beitrag No. 4 schreibt:
Der Logarithmus ist nun aber dort wirklich nicht mehr definiert.

Naja, der Ansatz wäre ja

€dit: Natürlich gibt es auch Fälle, wo das so nicht hinhaut, z.B. in dem verlinkten wikipedia-Artikel. Dient daher wohl eher der Plasusibilität für c = 1 oder c = 0.

[ Nachricht wurde editiert von cis am 25.06.2013 15:26:14 ]

mfg
cx

Hi.

So ein Beispiel kann es nicht geben. Definitionen alleine erzeugen niemals Widersprüche. Auch Definitionen für 0/0 erzeugen keine Widersprüche! Was du meinst, ist etwas anderes: Division durch Null zuzulassen, erzeugt keine Widersprüche, sondern Unannehmlichkeiten, weil die üblichen Rechenregeln nicht mehr uneingeschränkt gelten.

Du kannst also höchstens fragen, welche Rechenregeln man umschreiben müsste, wenn man 0^0 := 1 definiert. Antwort: Sehr wenige (weshalb das eine gute Definition ist im Gegensatz zu allem, was man mit 0/0 anstellen könnte). Beispielsweise bleiben alle Potenzgesetze für natürliche Exponenten weiterhin gültig. Die Potenzen für negative Exponenten waren vorher schon nur dann definiert, wenn die Basis invertierbar war (das ist letztlich das Division-durch-Null-Problem), daran ändert sich also nichts. Potenzgesetze für rationale Exponenten ändern sich auch nicht, weil es eindeutige Wurzeln aus der Basis 0 gibt. Potenzen für reelle Exponenten definiert man normalerweise mit dem Logarithmus, also

Eine Unannehmlichkeit, die wirklich auftritt, aber nebensächlich ist, ist die, die cis meinte: Die Funktion

mfg Gockel.

Hallo,

Es gilt lediglich

Es ist zwar

--
mfg
matph

Hallo matph!

Schon diese ...

2013-06-25 17:01 - matph in Beitrag No. 8 schreibt:
Es gilt lediglich [...]

Es ist zwar [...] allerdings gilt [...]

2013-06-25 17:01 - matph in Beitrag No. 8 schreibt:
Wenn du aus irgend einer anderen Richtung (welche nicht auf der Achse der reellen Zahlen liegt) kommst, so kann der Grenzwert je nach Richtung, unterschiedliche Werte annehmen.

Es geht hier aber weder darum, 00=1 zu beweisen, noch darum, ob die Definiton 00:=1 sinnvoll ist. Fraglich ist nur, ob man (als allgemein unter den Mathematikern dieser Welt verbreitete Konvention) 00 als 1 definiert. Und das ist sicherlich so (mit den von Dir angedeuteten Grenzwertbetrachtungen hat diese Definition übrigens gar nichts zu tun), daher muß ich auch dieser ...

2013-06-25 17:01 - matph in Beitrag No. 8 schreibt:

Liebe Grüße, Franz

Wie Gockel bereits erklärte und sicherlich in Frus Links steht ist es sehr wohl üblich, 0^0 als 1 zu definieren. Dagegen spricht sehr wenig (Grenzwerte sind irrelevant, man kann genauso welche finden, die 1^1=1 "widersprechen"; und 0^x=0 gilt genauso wenig für negative , es gibt also wenig Inzidenz dafür, es für x=0 zu fordern), dafür spricht, dass es überall gutgeht, wo man es tatsächlich antrifft.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]

@matph: Du machst denselben Fehler wie cis. Die (Un)Stetigkeit der Potenzfunktionen sagt nichts über Definiertheit aus. Ganz im Gegenteil: Schon dieser Gedanke ist falsch, weil er das Pferd vom Schwanz her aufzäumt. Erst muss definiert sein, worüber man reden will, dann kann man sich Fragen, was wo stetig ist oder nicht. Ob etwas definiert ist oder nicht, entscheidet sich immer bevor man inhaltliche Fragen klären kann.

Dazu kommt: Genauso wie mich niemand hindert, 0/0:=42 zu definieren, kann man auch niemanden daran hindern, 0^0 zu definieren. Eine pauschale Aussage, dass das gar nicht definiert sein könne, ist also falsch. Natürlich kann das definiert sein. Die einzige Frage ist: Will man das? 0/0 will man nicht definieren, weil es die schönen Rechengesetze kaputt macht, an die man sich so gewöhnt hat. Im Gegensatz dazu macht 0^0:=1 keine Rechengesetze kaputt, sondern fügt nahtlos in die bestehenden ein so gut wie es eben geht (die Potenzfunktion bekommt man durch keine Definition stetig, aber alles andere funktioniert trotzdem)

Und schließlich Punkt 3: Die Definition 0^0:=1 sollte alleine schon deshalb benutzt werden, weil sie ständig benutzt wird. Wann hast du etwa das letzte Mal eine Polynomfunktion als

mfg Gockel.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]

Hallo,

die Definition von

MfG
egndgf

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
[Edit]: Blödsinn gestrichen.

Hallo,

Vielleicht zur Klarstellung: 😄

Ich habe nicht behauptet, dass es nicht in vielen Fällen praktisch ist,

Ich meine lediglich, dass man nicht sagen kann (insbesondere ohne den Kontext zu kennen), dass

Ich kann auch einfach schreiben

--
mfg
matph

2013-06-25 18:17 - matph in Beitrag No. 13 schreibt:
[...] nicht nur, weil dieser Grenzwert im Bereich der komplexen Zahlen nicht existiert.

mfg Gockel.

0^0 als 1 zu definieren ist vergleich damit, 1 nicht als Primzahl zu sehen: offensichtlich eine Konvention, aber eine sehr nützliche und universell verwendbare.

2013-06-25 18:17 - matph in Beitrag No. 13 schreibt:
[...], dass man nicht sagen kann (insbesondere ohne den Kontext zu kennen), dass

2013-06-25 18:17 - matph in Beitrag No. 13 schreibt:
[...], nicht nur, weil dieser Grenzwert im Bereich der komplexen Zahlen nicht existiert.

00 ist gar kein Grenzwert (sondern vor einer Definition einfach ein undefinierter Term; und danach natürlich ganz einfach die Zahl 1).

Und die übliche Definition hat auch überhaupt nichts mit irgendwelchen Grenzwerten zu tun: Ob gewisse Grenzwerte (die Du offenbar bei Deiner Argumentation im Hinterkopf hast) existieren und den Wert 1 haben, oder einen anderen Wert haben, oder gar nicht existieren, ist i. A. eine Frage, bei der man eine Definition von 00 gar nicht benötigt.

2013-06-25 18:17 - matph in Beitrag No. 13 schreibt:
Wenn man eine generelle Definition einführen wollte, dann kann man sich diese nicht je nach Kontext einfach zurecht biegen...

2013-06-25 18:17 - matph in Beitrag No. 13 schreibt:
Ich kann auch einfach schreiben

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]

Hallo,

Diese Neuerung in der Mathematik scheint nicht nur an mir, und wohl vielen die ich persönlich kenne, vorbei gegangen zu sein, sondern auch an vielen anderen Mathematikern.
So pflichtet mir auch WolframAlpha bei, so wie alle Programme und Bibliotheken, welche ich auf die schnelle durchprobiert habe... 😎

--
mfg
matph

Erstaunlich, dass die Erkenntnis, dass eine Definition niemals richtig oder falsch, sondern immer nur mehr weniger sinnvoll ist, zu manchen hier noch nicht wirklich durchgedrungen ist.  😮

Eine der nettesten Begründungen, warum

definiert sei. Ohne obige Definition würden nicht nur Anfänger hier ins Schwitzen kommen...  😁

Edit (@matph):

Ja, WolframAlpha und Mathematica tanzen hier wieder mal aus der Reihe.  ☹️   Wäre aber interessant, ob es sonst noch irgendein ein CAS gibt, das nicht

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]

2013-06-25 18:50 - matph in Beitrag No. 17 schreibt:
Diese Neuerung in der Mathematik [...]

2013-06-25 18:50 - matph in Beitrag No. 17 schreibt:
[...] auch an vielen anderen Mathematikern.
So pflichtet mir auch WolframAlpha bei, so wie alle Programme und Bibliotheken [...] 😎

Insbesondere sind solche Programme keineswegs davor gefeit, Falsches von sich zu geben. Das liegt zwar meistens nur an einer inadäquaten Bedienung unwissender Benutzer, aber manchmal auch daran, daß der Programmierer die sich ihm stellenden Probleme nicht zufriedenstellen lösen konnte (was man allerdings auch gar nicht in allen Fällen forden könnte, sodaß es sich nicht immer um seine "Schuld" handelt).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]

Hallo,

Ja, es gibt auch andere CAS, z.B. 😄
Maxima:
> 0^0

Die Software habe auch nicht mit Mathematiker angesprochen, diese sind als weitere Beispiele aufgeführt, allerdings etwas missverständlich formuliert...

--
mfg
matph

Hi matph.

2013-06-25 19:18 - matph in Beitrag No. 21 schreibt:
Ein anderes Beispiel wäre:
Haskell:
> (0:+0)**0
NaN :+ NaN

Viele Grüße,
Dune

Wo wir schon dabei sind: cplusplus.com behauptet, es gäbe kein festgelegtes Verhalten, aber es könnte ein Fehler ausgegeben werden.
C# hingegen hält sich an die mathematische Konvention.

mfg Gockel.

Hallo,

Mit :+ werden komplexe Zahlen in Haskell angeschrieben, im Haskell 98 Standard mit Complex, mittlerweile allerdings wohl generell unter Data.Complex zu finden.
Dein Beispiel hat eher mit den Konventionen der Fließkommaarithmetik zu tun, und auch bei ganzen Zahlen kompatibel zu diesen zu bleiben, als mit Haskell selbst, hier ist dann allerdings auch

--
mfg
matph

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]

Und an welchen Konventionen liegt es, dass auch "(0 :+ 0)**1", "(0 :+ 0)**2" etc. zu "NaN :+ NaN" ausgewertet werden? "(0 :+ 0)^0" liefert jedenfalls "1.0 :+ 0.0".

2013-06-25 16:10 - Gockel in Beitrag No. 7 schreibt:
So ein Beispiel kann es nicht geben. Definitionen alleine erzeugen niemals Widersprüche. Auch Definitionen für 0/0 erzeugen keine Widersprüche! Was du meinst, ist etwas anderes: Division durch Null zuzulassen, erzeugt keine Widersprüche, sondern Unannehmlichkeiten, weil die üblichen Rechenregeln nicht mehr uneingeschränkt gelten.

Frage:
Würde man sich durch 0^0=1 einen Widerspruch fangen,
wenn die Rechenregeln für alle reellen Zahlen gelten würden
(außer sie erzeugen sinnlose Zeichenfolgen wie 0/0 oder ln(0) usw.)

mfg
cx

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.20 begonnen.]

Hallo,

Dies liegt daran, dass log(0:+0) zu (-Infinity):+0 ausgewertet wird, und Infinity*0 zu NaN, womit die Exponentialfunktion nun zu NaN:+NaN wird,...
Dies hat alles wie gesagt, eher mit Fließkommaarithmetik zu tun, als der Sprache selbst.
Die Funktion ^ hingegen definiert explizit, dass x^0=1 ist 😄

--
mfg
matph

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.25 begonnen.]

Hi.

Gar nicht, denn die Rechenregeln sind ja widerspruchsfrei, siehe oben. Man darf natürlich keine falschen Regeln verwenden. ab=c => b=c/a ist ja in dieser Formulierung schon falsch, weil eben a=0 sein kann. Die Definition 0/0:=42 hat das nicht widersprüchlich gemacht, die Regeln waren widersprüchlich.

mfg Gockel.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]

2013-06-25 20:11 - carlox in Beitrag No. 26 schreibt:
 Definitionen mit (Beweis)Regeln können Widersprüche erzeugen.

Definitionen sind Festlegungen, was man unter einem bestimmten Ausdruck versteht. Nicht mehr und nicht weniger.

Und dann gibt es Rechenregeln, die für andere Zahlen gelten.
Ob die auch für die neu eingeführte Definition gelten oder nicht, muss man überprüfen. Wenn sie gelten, dann kann man sie verwenden.
Nur dann, aber das ist doch eh klar.

Ich könnte 00 als 37 festlegen.
Nur dann würde die Anwendung sehr vieler Rechenregeln nicht möglich sein.
Weil man das aber haben möchte, wählt man die Definition so, wie von fru in #1 beschrieben.

LG chryso