Endlich habe ich ein umfangreiches und lang ersehntes Thema in die Finger bekommen Analytische Geometrie. Zunächst etwas zu diesem Abschnitt höhere Mathematik…. Sicherlich erinnerten Sie sich jetzt an den Schul-Geometrie-Kurs mit zahlreichen Sätzen, deren Beweisen, Zeichnungen usw. Was zu verbergen ist, ein ungeliebtes und oft obskures Thema für einen erheblichen Teil der Studenten. Seltsamerweise mag analytische Geometrie interessanter und zugänglicher erscheinen. Was bedeutet das Adjektiv „analytisch“? Mir fallen sofort zwei gestempelte mathematische Ausdrücke ein: „grafisches Lösungsverfahren“ und „ analytische Methode Lösungen". Grafische Methode ist natürlich mit der Konstruktion von Diagrammen und Zeichnungen verbunden. Analytisch gleich Methode beinhaltet die Problemlösung überwiegend durch algebraische Operationen. In dieser Hinsicht ist der Algorithmus zur Lösung fast aller Probleme der analytischen Geometrie einfach und transparent, er ist oft ziemlich genau anzuwenden notwendige Formeln- und die Antwort ist fertig! Nein, auf Zeichnungen wird es natürlich ganz und gar nicht kommen, außerdem werde ich zum besseren Verständnis des Stoffes versuchen, sie über das Notwendige hinaus zu bringen.
Der offene Lehrgang Geometrie erhebt keinen Anspruch auf theoretische Vollständigkeit, er ist auf die Lösung praktischer Probleme ausgerichtet. In meine Vorlesungen werde ich nur das einfließen lassen, was aus meiner Sicht in der Praxis wichtig ist. Wenn Sie eine vollständigere Referenz zu einem Unterabschnitt benötigen, empfehle ich die folgende leicht zugängliche Literatur:
1) Eine Sache, die, kein Scherz, mehreren Generationen vertraut ist: Schulbuch Geometrie, die Autoren - L.S. Atanasyan und Gesellschaft. Dieser Kleiderbügel für die Schulumkleide hat bereits 20 (!) Neuauflagen überstanden, was natürlich nicht die Grenze ist.
2) Geometrie in 2 Bänden. Die Autoren L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Das ist Literatur für weiterführende Schule, du wirst brauchen erster Band. Selten anfallende Aufgaben können aus meinem Blickfeld fallen, u Lernprogramm wird unschätzbare Hilfe leisten.
Beide Bücher können kostenlos online heruntergeladen werden. Darüber hinaus können Sie mein Archiv mit vorgefertigten Lösungen nutzen, die auf der Seite zu finden sind Laden Sie Beispiele für höhere Mathematik herunter.
Von den Tools biete ich wieder meine eigene Entwicklung an - Softwarepaket zur analytischen Geometrie, die das Leben erheblich vereinfacht und viel Zeit spart.
Es wird davon ausgegangen, dass der Leser mit geometrischen Grundbegriffen und Figuren vertraut ist: Punkt, Gerade, Ebene, Dreieck, Parallelogramm, Parallelepiped, Würfel usw. Es ist ratsam, sich einige Sätze zu merken, zumindest den Satz des Pythagoras, hallo Wiederholer)
Und jetzt werden wir nacheinander betrachten: das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten. Weiter empfehle ich die Lektüre der wichtigste Artikel Skalarprodukt von Vektoren, ebenso gut wie Vektor und Mischprodukt von Vektoren. Die lokale Aufgabe wird nicht überflüssig - Teilung des Segments in dieser Hinsicht. Basierend auf den obigen Informationen können Sie Gleichung einer Geraden in einer Ebene von die einfachsten Beispiele für Lösungen, was erlauben wird lernen, wie man Probleme in der Geometrie löst. Hilfreich sind auch die folgenden Artikel: Gleichung einer Ebene im Raum, Gleichungen einer geraden Linie im Raum, Grundlegende Probleme auf der Linie und Ebene , andere Abschnitte der analytischen Geometrie. Dabei werden selbstverständlich auch Standardaufgaben berücksichtigt.
Das Konzept eines Vektors. kostenloser Vektor
Lassen Sie uns zunächst die Schuldefinition eines Vektors wiederholen. Vektor namens gerichtet ein Segment, dessen Anfang und Ende angegeben sind:
In diesem Fall ist der Anfang des Segments der Punkt , das Ende des Segments der Punkt . Der Vektor selbst wird mit bezeichnet. Richtung Wichtig ist, wenn Sie den Pfeil an das andere Ende des Segments verschieben, erhalten Sie einen Vektor, und dieser ist bereits vorhanden ganz anderer Vektor. Es ist bequem, das Konzept eines Vektors mit der Bewegung eines physischen Körpers zu identifizieren: Sie müssen zugeben, dass das Betreten der Türen eines Instituts oder das Verlassen der Türen eines Instituts völlig verschiedene Dinge sind.
Es ist zweckmäßig, einzelne Punkte einer Ebene, des Raums, als den sogenannten Raum zu betrachten Nullvektor. Ein solcher Vektor hat dasselbe Ende und denselben Anfang.
!!! Notiz:Hier und im Folgenden können Sie davon ausgehen, dass die Vektoren in der gleichen Ebene liegen, oder Sie können davon ausgehen, dass sie sich im Raum befinden - die Essenz des dargestellten Materials gilt sowohl für die Ebene als auch für den Raum.
Bezeichnungen: Viele machten sofort auf einen Stock ohne Pfeil in der Bezeichnung aufmerksam und sagten, dass sie oben auch einen Pfeil setzen! Das ist richtig, Sie können mit einem Pfeil schreiben: , aber zulässig und Aufzeichnung, die ich später verwenden werde. Warum? Anscheinend hat sich eine solche Angewohnheit aus praktischen Erwägungen heraus entwickelt, meine Schützen in Schule und Uni erwiesen sich als zu vielfältig und zottig. IN pädagogische Literatur manchmal kümmern sie sich überhaupt nicht um die Keilschrift, sondern heben die Buchstaben fett hervor: , was impliziert, dass es sich um einen Vektor handelt.
Das war der Stil, und nun zu den Möglichkeiten, Vektoren zu schreiben:
1) Vektoren können in zwei lateinischen Großbuchstaben geschrieben werden:
2) Vektoren werden auch in lateinischen Kleinbuchstaben geschrieben:
Insbesondere kann unser Vektor der Kürze halber durch einen kleinen lateinischen Buchstaben umbenannt werden.
Länge oder Modul Nicht-Null-Vektor wird die Länge des Segments genannt. Die Länge des Nullvektors ist Null. Logisch.
Die Länge eines Vektors wird durch das Modulozeichen angegeben: ,
Wie man die Länge eines Vektors findet, werden wir etwas später lernen (oder wiederholen, für wen wie).
Das waren elementare Informationen über den Vektor, die allen Schulkindern bekannt sind. In der analytischen Geometrie, dem sog kostenloser Vektor.
Wenn es ganz einfach ist - Vektor kann von jedem beliebigen Punkt aus gezeichnet werden:
Früher nannten wir solche Vektoren gleich (die Definition gleicher Vektoren wird weiter unten gegeben), aber aus rein mathematischer Sicht ist dies der GLEICHE VEKTOR oder kostenloser Vektor. Warum kostenlos? Denn im Laufe der Problemlösung können Sie den einen oder anderen „Schulvektor“ an JEDEM Punkt der Ebene oder des Raums „anhängen“, den Sie benötigen. Dies ist eine sehr coole Eigenschaft! Stellen Sie sich ein gerichtetes Segment beliebiger Länge und Richtung vor - es kann "geklont" werden eine unendliche Zahl einmal und an jedem Punkt im Raum, tatsächlich existiert es ÜBERALL. Es gibt so ein Studenten-Sprichwort: Jeder Dozent in f**u im Vektor. Schließlich ist es nicht nur ein witziger Reim, es stimmt fast alles – auch dort kann ein gerichtetes Segment angehängt werden. Aber beeilen Sie sich nicht, sich zu freuen, die Schüler selbst leiden häufiger =)
Damit, kostenloser Vektor- Das viele identische Richtungssegmente. Die schulische Definition eines Vektors, die zu Beginn des Absatzes gegeben wird: „Ein gerichtetes Segment heißt Vektor ...“, impliziert Spezifisch ein gerichtetes Segment aus einer gegebenen Menge, das an einem bestimmten Punkt in der Ebene oder im Raum befestigt ist.
Es sollte beachtet werden, dass das Konzept eines freien Vektors aus physikalischer Sicht im Allgemeinen falsch ist und der Anwendungspunkt von Bedeutung ist. In der Tat reicht ein direkter Schlag mit der gleichen Kraft auf die Nase oder auf die Stirn, um mein dummes Beispiel zu entwickeln, das andere Konsequenzen nach sich zieht. Aber, nicht frei Vektoren werden auch im Verlauf von Vyshmat gefunden (gehen Sie nicht dorthin :)).
Aktionen mit Vektoren. Kollinearität von Vektoren
IN Schulkurs Geometrie berücksichtigt eine Reihe von Aktionen und Regeln mit Vektoren: Addition nach der Dreiecksregel, Addition nach der Parallelogrammregel, Differenzenregel von Vektoren, Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, Skalarprodukt von Vektoren usw. Als Ausgangspunkt wiederholen wir zwei Regeln, die für die Lösung von Problemen der analytischen Geometrie besonders relevant sind.
Additionsregel von Vektoren nach der Dreiecksregel
Betrachten Sie zwei beliebige Nicht-Null-Vektoren und :
Es ist erforderlich, die Summe dieser Vektoren zu finden. Aufgrund der Tatsache, dass alle Vektoren als frei gelten, verschieben wir den Vektor aus Ende Vektor:
Die Summe der Vektoren ist der Vektor . Für ein besseres Verständnis der Regel empfiehlt es sich, in diese zu investieren physikalische Bedeutung: Lassen Sie einen Körper einen Pfad entlang des Vektors und dann entlang des Vektors ziehen. Dann ist die Summe der Vektoren der Vektor des resultierenden Weges, der am Ausgangspunkt beginnt und am Ankunftspunkt endet. Eine ähnliche Regel wird für die Summe beliebig vieler Vektoren formuliert. Wie sie sagen, kann der Körper seinen Weg stark im Zickzack oder vielleicht auf Autopilot gehen - entlang des resultierenden Summenvektors.
Übrigens, wenn der Vektor verschoben wird Anfang vector , dann erhalten wir das Äquivalent Parallelogrammregel Addition von Vektoren.
Zunächst zur Kollinearität von Vektoren. Die beiden Vektoren werden aufgerufen kollinear ob sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen. Grob gesagt sprechen wir von parallelen Vektoren. Aber in Bezug auf sie wird immer das Adjektiv "kollinear" verwendet.
Stellen Sie sich zwei kollineare Vektoren vor. Wenn die Pfeile dieser Vektoren in die gleiche Richtung gerichtet sind, werden solche Vektoren aufgerufen gleichgerichtet. Wenn die Pfeile in unterschiedliche Richtungen schauen, dann werden die Vektoren sein entgegengesetzt gerichtet.
Bezeichnungen: Die Kollinearität von Vektoren wird mit dem üblichen Parallelitätssymbol geschrieben: , während eine Detaillierung möglich ist: (Vektoren sind gleich gerichtet) oder (Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet).
Arbeit eines Vektors ungleich Null durch eine Zahl ist ein Vektor, dessen Länge gleich ist, und die Vektoren und sind auf gerichtet und entgegengesetzt gerichtet auf .
Die
Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl ist anhand eines Bildes besser verständlich:
Wir verstehen genauer:
1 Richtung. Wenn der Multiplikator negativ ist, dann der Vektor ändert die Richtung zum Gegenteil.
2) Länge. Wenn der Faktor in oder enthalten ist, dann die Länge des Vektors nimmt ab. Die Länge des Vektors ist also doppelt so lang wie die Länge des Vektors . Wenn der Modulo-Multiplikator größer als eins ist, dann die Länge des Vektors erhöht sich rechtzeitig.
3) Bitte beachten Sie das alle Vektoren sind kollinear, während ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt wird, zum Beispiel . Das Gegenteil ist auch wahr: Wenn ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt werden kann, dann sind solche Vektoren notwendigerweise kollinear. Auf diese Weise: Wenn wir einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren, werden wir kollinear(relativ zum Original) Vektor.
4) Die Vektoren sind gleichgerichtet. Die Vektoren und sind ebenfalls gleichgerichtet. Jeder Vektor der ersten Gruppe ist jedem Vektor der zweiten Gruppe entgegengesetzt.
Welche Vektoren sind gleich?
Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleichgerichtet sind und die gleiche Länge haben. Beachten Sie, dass die Co-Richtung impliziert, dass die Vektoren kollinear sind. Die Definition wird ungenau (redundant), wenn Sie sagen: "Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie kollinear, gleichgerichtet und gleich lang sind."
Aus Sicht des Konzepts eines freien Vektors sind gleiche Vektoren derselbe Vektor, was bereits im vorherigen Absatz diskutiert wurde.
Vektorkoordinaten in der Ebene und im Raum
Der erste Punkt besteht darin, Vektoren auf einer Ebene zu betrachten. Zeichnen Sie ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem und legen Sie es vom Ursprung ab Einzel Vektoren und :
Vektoren und senkrecht. Orthogonal = Senkrecht. Ich empfehle, sich langsam an die Begriffe zu gewöhnen: Statt Parallelität und Rechtwinkligkeit verwenden wir die Wörter respektive Kollinearität Und Orthogonalität.
Bezeichnung: Orthogonalität von Vektoren wird mit dem üblichen senkrechten Zeichen geschrieben, zum Beispiel: .
Die betrachteten Vektoren werden aufgerufen Koordinatenvektoren oder Ort. Diese Vektoren bilden sich Basis auf der Oberfläche. Was die Basis ist, denke ich, ist vielen intuitiv klar, genauere Infos findet man im Artikel Lineare (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis.In einfachen Worten, die Basis und der Koordinatenursprung definieren das gesamte System - dies ist eine Art Fundament, auf dem ein volles und reiches geometrisches Leben brodelt.
Manchmal wird die konstruierte Basis aufgerufen orthonormal Basis der Ebene: "ortho" - weil die Koordinatenvektoren orthogonal sind, bedeutet das Adjektiv "normalisiert" Einheit, d.h. die Längen der Basisvektoren sind gleich eins.
Bezeichnung: Die Basis wird normalerweise in Klammern geschrieben, in denen in strenger Reihenfolge Basisvektoren sind aufgelistet, zum Beispiel: . Koordinatenvektoren es ist verboten Platz tauschen.
Irgendein Ebene Vektor der einzige Weg ausgedrückt als:
Abendessen serviert:
Beginnen wir mit dem ersten Buchstaben des Alphabets: . Die Zeichnung zeigt deutlich, dass bei der Zerlegung des Vektors nach der Basis die eben betrachteten verwendet werden:
1) die Regel der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: und ;
2) Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel: .
Legen Sie nun den Vektor von jedem anderen Punkt auf der Ebene gedanklich beiseite. Es ist ziemlich offensichtlich, dass seine Korruption ihm "unerbittlich folgen wird". Hier ist sie, die Freiheit des Vektors – der Vektor „trägt alles mit sich“. Diese Eigenschaft gilt natürlich für jeden Vektor. Komischerweise müssen die Basis-(Frei-)Vektoren selbst nicht vom Ursprung abgesetzt werden, man kann z. B. den einen unten links und den anderen oben rechts zeichnen, und daran ändert sich nichts! Sie müssen dies zwar nicht tun, da der Lehrer auch Originalität zeigt und Ihnen an einem unerwarteten Ort einen „Pass“ zeichnet.
Vektoren veranschaulichen genau die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl, der Vektor ist mit dem Basisvektor gleichgerichtet, der Vektor ist dem Basisvektor entgegengesetzt gerichtet. Für diese Vektoren ist eine der Koordinaten gleich Null, es kann akribisch wie folgt geschrieben werden:
Und die Basisvektoren sind übrigens so: (tatsächlich werden sie durch sich selbst ausgedrückt).
Und endlich: , . Übrigens, was ist Vektorsubtraktion, und warum habe ich Ihnen nichts über die Subtraktionsregel erzählt? Irgendwo in Lineare Algebra, ich erinnere mich nicht wo, ich habe bemerkt, dass die Subtraktion ist besonderer Fall Zusatz. Die Erweiterungen der Vektoren "de" und "e" werden also ruhig als Summe geschrieben:
Überlegte Zerlegung der Form
Oder mit Gleichheitszeichen:
Die Basisvektoren selbst werden wie folgt geschrieben: und
Das heißt, die Koordinaten des Vektors sind in Klammern angegeben. IN praktische Aufgaben Alle drei Optionen werden verwendet.
Ich zweifelte, ob ich sprechen sollte, aber ich werde trotzdem sagen: Vektorkoordinaten können nicht neu angeordnet werden. Streng an erster Stelle notieren Sie die Koordinate, die dem Einheitsvektor entspricht, strikt an zweiter Stelle notieren Sie die Koordinate, die dem Einheitsvektor entspricht. In der Tat, und sind zwei verschiedene Vektoren.
Wir haben die Koordinaten im Flugzeug herausgefunden. Betrachten Sie nun Vektoren im dreidimensionalen Raum, hier ist alles fast gleich! Es wird nur eine weitere Koordinate hinzugefügt. Es ist schwierig, dreidimensionale Zeichnungen auszuführen, daher beschränke ich mich auf einen Vektor, den ich der Einfachheit halber vom Ursprung der Koordinaten verschiebe:
Irgendein 3D-Raumvektor der einzige Weg Erweitern Sie auf orthonormaler Basis:
Beispiel aus dem Bild:
Alle Vektoren des dreidimensionalen Raums sind natürlich auch frei, versuchen Sie, den Vektor geistig von jedem anderen Punkt zu verschieben, und Sie werden verstehen, dass seine Ausdehnung "bei ihm bleibt".
Ähnlich wie bei der Flugzeughülle zusätzlich zum Schreiben
Wenn ein (oder zwei) Koordinatenvektoren
in der Erweiterung fehlen, werden stattdessen Nullen gesetzt. Beispiele:
Vektor (sorgfältig
Vektor (sorgfältig
Vektor (sorgfältig
Basisvektoren werden wie folgt geschrieben:
Hier ist vielleicht das gesamte theoretische Mindestwissen vorhanden, das zur Lösung von Problemen der analytischen Geometrie erforderlich ist. Vielleicht gibt es zu viele Begriffe und Definitionen, daher empfehle ich Dummies, diese Informationen erneut zu lesen und zu verstehen. Und es wird für jeden Leser nützlich sein, von Zeit zu Zeit auf die Grundlektion zu verweisen, um sich das Material besser anzueignen. Kollinearität, Orthogonalität, Orthonormalbasis, Vektorzerlegung – diese und andere Begriffe werden im Folgenden häufig verwendet. Ich stelle fest, dass die Materialien der Website nicht ausreichen, um einen theoretischen Test, ein Kolloquium über Geometrie, zu bestehen, da ich alle Theoreme sorgfältig verschlüssele (außer ohne Beweise) - zum Nachteil des wissenschaftlichen Präsentationsstils, aber ein Plus für Ihr Verständnis des Themas. Für detaillierte theoretische Informationen bitte ich Sie, sich vor Professor Atanasyan zu verneigen.
Kommen wir nun zum praktischen Teil:
Die einfachsten Probleme der analytischen Geometrie.
Aktionen mit Vektoren in Koordinaten
Die Aufgaben, die betrachtet werden, sind sehr wünschenswert, um zu lernen, wie man sie vollautomatisch löst, und die Formeln sich einprägen, erinnern sich nicht einmal absichtlich daran, sie werden sich selbst daran erinnern =) Dies ist sehr wichtig, da andere Probleme der analytischen Geometrie auf den einfachsten elementaren Beispielen basieren und es ärgerlich sein wird, zusätzliche Zeit damit zu verbringen, Bauern zu essen. Die obersten Knöpfe am Hemd brauchen Sie nicht zuzumachen, vieles ist Ihnen aus der Schule vertraut.
Die Präsentation des Materials wird parallel verlaufen – sowohl für die Ebene als auch für den Weltraum. Aus dem Grund, dass alle Formeln ... Sie werden es selbst sehen.
Wie findet man einen Vektor mit zwei Punkten?
Sind zwei Punkte der Ebene und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:
Sind zwei Raumpunkte und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:
Also, von den Koordinaten des Endes des Vektors Sie müssen die entsprechenden Koordinaten subtrahieren Vektorstart.
Die Aufgabe: Schreiben Sie für dieselben Punkte die Formeln zum Ermitteln der Koordinaten des Vektors auf. Formeln am Ende der Lektion.
Beispiel 1
Gegeben zwei Punkte in der Ebene und . Finden Sie Vektorkoordinaten
Lösung: nach der entsprechenden Formel:
Alternativ könnte folgende Notation verwendet werden:
Ästheten entscheiden so:
Ich persönlich bin an die erste Version der Platte gewöhnt.
Antworten:
Gemäß der Bedingung war es nicht erforderlich, eine Zeichnung zu erstellen (was typisch für Probleme der analytischen Geometrie ist), aber um Dummies einige Punkte zu erklären, werde ich nicht zu faul sein:
Muss verstanden werden Unterschied zwischen Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten:
Punktkoordinaten sind die üblichen Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Ich denke, seit der 5. bis 6. Klasse weiß jeder, wie man Punkte auf der Koordinatenebene zeichnet. Jeder Punkt hat einen festen Platz in der Ebene und kann nirgendwo hin verschoben werden.
Die Koordinaten desselben Vektors ist in diesem Fall seine Erweiterung in Bezug auf die Basis . Jeder Vektor ist frei, daher können wir ihn, falls gewünscht oder notwendig, leicht von einem anderen Punkt der Ebene verschieben (um ihn zum Beispiel durch umzubenennen, um Verwirrung zu vermeiden). Interessanterweise können Sie für Vektoren überhaupt keine Achsen bauen, ein rechtwinkliges Koordinatensystem, Sie brauchen nur eine Basis, in diesem Fall eine orthonormale Basis der Ebene.
Die Aufzeichnungen von Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten scheinen ähnlich zu sein: , und Sinn für Koordinaten absolut unterschiedlich, und Sie sollten sich dieses Unterschieds bewusst sein. Dieser Unterschied gilt natürlich auch für den Raum.
Meine Damen und Herren, wir füllen unsere Hände:
Beispiel 2
a) Gegebene Punkte und . Finden Sie Vektoren und .
b) Punkte werden vergeben
c) Gegebene Punkte und . Finden Sie Vektoren und .
d) Punkte werden vergeben. Vektoren finden
Vielleicht genug. Dies sind Beispiele für unabhängige Entscheidung, vernachlässige sie nicht, es wird sich auszahlen ;-). Zeichnungen sind nicht erforderlich. Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.
Was ist wichtig bei der Lösung von Problemen der analytischen Geometrie? Es ist wichtig, EXTREM VORSICHTIG zu sein, um den meisterhaften Fehler „zwei plus zwei gleich null“ zu vermeiden. Ich entschuldige mich im Voraus, wenn ich einen Fehler gemacht habe =)
Wie findet man die Länge eines Segments?
Die Länge wird, wie bereits erwähnt, durch das Modulzeichen angegeben.
Wenn zwei Punkte der Ebene und gegeben sind, kann die Länge des Segments nach der Formel berechnet werden
Wenn zwei Punkte im Raum und gegeben sind, kann die Länge des Segments durch die Formel berechnet werden
Notiz:Die Formeln bleiben korrekt, wenn die entsprechenden Koordinaten vertauscht werden: und , aber die erste Option ist mehr Standard
Beispiel 3
Lösung: nach der entsprechenden Formel:
Antworten:
Zur Verdeutlichung mache ich eine Zeichnung
Abschnitt - es ist kein Vektor, und Sie können es natürlich nirgendwohin verschieben. Zusätzlich, wenn Sie die Zeichnung maßstäblich ausfüllen: 1 Einheit. \u003d 1 cm (zwei Tetradenzellen), dann kann die Antwort mit einem normalen Lineal überprüft werden, indem die Länge des Segments direkt gemessen wird.
Ja, die Lösung ist kurz, aber sie hat noch ein paar mehr wichtige Punkte Ich möchte klarstellen:
Als erstes setzen wir in der Antwort die Dimension: „Einheiten“. Der Zustand sagt nicht WAS es ist, Millimeter, Zentimeter, Meter oder Kilometer. Daher wird die allgemeine Formulierung eine mathematisch kompetente Lösung sein: „Einheiten“ - abgekürzt als „Einheiten“.
Zweitens wiederholen wir das Schulmaterial, das nicht nur für das betrachtete Problem nützlich ist:
beachten wichtiger technischer Trick – Nehmen Sie den Multiplikator unter der Wurzel heraus. Als Ergebnis der Berechnungen haben wir das Ergebnis erhalten, und ein guter mathematischer Stil beinhaltet das Entfernen des Multiplikators unter der Wurzel (wenn möglich). Der Ablauf sieht im Detail so aus:
Hier sind weitere häufige Fälle:
Oft stellt sich unter der Wurzel heraus, dass es genug ist große Nummer, zum Beispiel . Wie in solchen Fällen sein? Auf dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl durch 4: teilbar ist. Ja, komplett aufgeteilt, also:
Bereit.
Ausgabe: Wenn wir unter der Wurzel eine ganze Zahl erhalten, die nicht extrahiert werden kann, versuchen wir, den Faktor unter der Wurzel herauszuziehen - auf dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl teilbar ist durch: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc.
Beim Lösen verschiedener Probleme werden oft Wurzeln gefunden, versuchen Sie immer, Faktoren unter der Wurzel zu extrahieren, um eine niedrigere Punktzahl und unnötige Probleme beim Abschließen Ihrer Lösungen gemäß der Anmerkung des Lehrers zu vermeiden.
Wiederholen wir die Quadratur der Wurzeln und anderer Potenzen gleichzeitig:
Die Regeln für Handlungen mit Abstufungen in allgemeiner Form findet man in einem Schulbuch über Algebra, aber ich denke, dass aus den gegebenen Beispielen schon alles oder fast alles klar ist.
Aufgabe für eine unabhängige Lösung mit einem Segment im Raum:
Beispiel 4
Gegebene Punkte und . Finden Sie die Länge des Segments.
Lösung und Antwort am Ende der Lektion.
Wie findet man die Länge eines Vektors?
Wenn ein Ebenenvektor angegeben ist, wird seine Länge nach der Formel berechnet.
Wenn ein Raumvektor angegeben ist, wird seine Länge durch die Formel berechnet
Diese Formeln (wie auch die Formeln für die Länge eines Segments) lassen sich leicht mit dem berüchtigten Satz des Pythagoras herleiten.
Die in dieser Lektion erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten werden den Schülern nicht nur im Geometrieunterricht, sondern auch im Unterricht in anderen Wissenschaften nützlich sein. Während der Lektion lernen die Schüler, wie man einen Vektor von einem bestimmten Punkt aus zeichnet. Das kann eine reguläre Geometriestunde sein, aber auch ein außerschulischer oder außerschulischer Mathematikunterricht. Diese Entwicklung wird dem Lehrer helfen, Zeit bei der Vorbereitung auf den Unterricht zum Thema "Verzögern eines Vektors von einem bestimmten Punkt" zu sparen. Es reicht ihm, die Videolektion im Unterricht zu spielen und den Stoff dann mit einer eigenen Auswahl an Übungen zu festigen.
Die Unterrichtsdauer beträgt nur 1:44 Minuten. Dies reicht jedoch aus, um Schulkindern beizubringen, den Vektor von einem bestimmten Punkt aus zu verschieben.
Die Lektion beginnt mit der Demonstration eines Vektors, dessen Anfang an einem bestimmten Punkt liegt. Sie sagen, dass der Vektor davon verschoben wird. Dann schlägt der Autor vor, mit ihm die Behauptung zu beweisen, wonach ein Vektor, der dem gegebenen gleich und außerdem eindeutig ist, von jedem Punkt aus gezogen werden kann. Im Zuge des Beweises betrachtet der Autor jeden Fall im Detail. Erstens nimmt es die Situation an, wenn der gegebene Vektor Null ist, und zweitens, wenn der Vektor nicht Null ist. Während des Beweises werden Illustrationen in Form von Zeichnungen und Konstruktionen, mathematischer Notation, verwendet, die die mathematische Grundbildung bei Schulkindern bilden. Der Autor spricht langsam, was es den Schülern ermöglicht, während des Kommentierens parallel Notizen zu machen. Die Konstruktion, die der Autor im Zuge des Beweises der zuvor formulierten Aussage anführte, zeigt, wie von einem bestimmten Punkt aus ein dem gegebenen gleicher Vektor konstruiert werden kann.
Wenn die Schüler die Lektion aufmerksam verfolgen und gleichzeitig Notizen machen, werden sie den Stoff leicht lernen. Darüber hinaus erzählt der Autor ausführlich, gemessen und ziemlich vollständig. Wenn Sie aus irgendeinem Grund etwas nicht gehört haben, können Sie zurückgehen und die Lektion erneut ansehen.
Nachdem Sie sich das Video-Tutorial angesehen haben, ist es ratsam, mit der Reparatur des Materials zu beginnen. Dem Lehrer wird empfohlen, Aufgaben zu diesem Thema auszuwählen, um die Fähigkeit zu erarbeiten, den Vektor von einem bestimmten Punkt aus zu verschieben.
Diese Lektion kann verwendet werden Selbststudium Themen für Schulkinder. Aber um sich zu festigen, müssen Sie den Lehrer kontaktieren, damit er die geeigneten Aufgaben auswählt. In der Tat ist es ohne Konsolidierung des Materials schwierig, ein positives Ergebnis im Training zu erzielen.
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Frage 1.
Was ist ein Vektor? Wie sind Vektoren definiert?
Antworten. Wir nennen ein gerichtetes Segment einen Vektor (Abb. 211). Die Richtung eines Vektors wird durch Angabe seines Anfangs und Endes bestimmt. In der Zeichnung ist die Richtung des Vektors mit einem Pfeil gekennzeichnet. Um Vektoren zu bezeichnen, verwenden wir lateinische Kleinbuchstaben a, b, c, ... . Sie können einen Vektor auch bestimmen, indem Sie seinen Anfang und sein Ende angeben. In diesem Fall wird der Anfang des
Vektors an die erste Stelle gesetzt. Anstelle des Wortes "Vektor" wird manchmal ein Pfeil oder ein Strich über der Buchstabenbezeichnung des Vektors platziert. Der Vektor in Abbildung 211 kann wie folgt bezeichnet werden:
\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) oder \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).
Frage 2. Welche Vektoren heißen gleichgerichtet (entgegengesetzt gerichtet)?
Antworten. Die Vektoren \(\overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) heißen gleich
gerichtet, wenn die Halbgeraden AB und CD gleich gerichtet sind.
Die Vektoren \(\overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) heißen entgegengesetzt gerichtet, wenn die Halbgeraden AB und CD entgegengesetzt gerichtet sind.
In Abbildung 212 haben die Vektoren \(\overline(a)\) und \(\overline(b)\) dieselbe Richtung, während die Vektoren \(\overline(a)\) und \(\overline(c) \) haben entgegengesetzte Richtungen.
Frage 3. Was ist der Betrag eines Vektors?
Antworten. Der absolute Wert (oder Modul) eines Vektors ist die Länge des Segments, das den Vektor darstellt. Der Betrag des Vektors \(\overline(a)\) wird mit |\(\overline(a)\)| bezeichnet.
Frage 4. Was ist ein Nullvektor?
Antworten. Der Anfang eines Vektors kann mit seinem Ende zusammenfallen. Ein solcher
Vektor wird als Nullvektor bezeichnet. Der Nullvektor wird durch Null mit Bindestrich (\(\overline(0)\)) bezeichnet. Niemand spricht über die Richtung des Nullvektors. Der Absolutwert des Nullvektors wird als gleich Null betrachtet.
Frage 5. Welche Vektoren heißen gleich?
Antworten. Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie durch Paralleltranslation kombiniert werden. Dies bedeutet, dass es eine parallele Übersetzung gibt, die den Anfang und das Ende eines Vektors jeweils in
den Anfang und das Ende eines anderen Vektors übersetzt.
Frage 6. Beweisen Sie, dass gleiche Vektoren die gleiche Richtung haben und betragsmäßig gleich sind. Und umgekehrt: Gleich gerichtete und betragsmäßig gleiche Vektoren sind gleich.
Antworten. Bei der Parallelverschiebung behält der Vektor seine Richtung sowie seinen Absolutwert. Das bedeutet, dass gleiche Vektoren die gleiche Richtung haben und betragsmäßig gleich sind.
Seien \(\overline(AB)\) und
\(\overline(CD)\) gleichgerichtete, betragsgleiche Vektoren (Abb. 213). Eine parallele Verschiebung, die Punkt C nach Punkt A führt, kombiniert die Halblinie CD mit der Halblinie AB, da sie gleich gerichtet sind. Und da die Segmente AB und CD gleich sind, fällt der Punkt D mit dem Punkt B zusammen, d.h. parallele Übersetzung übersetzt den Vektor \(\overline(CD)\) in den Vektor \(\overline(AB)\). Die Vektoren \(\overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) sind also wie gefordert gleich.
Frage 7. Beweisen Sie, dass man von jedem Punkt aus einen Vektor zeichnen kann, der gleich dem gegebenen Vektor ist, und nur einen.
Antworten. Sei CD eine Gerade und der Vektor \(\overline(CD)\) ein Teil der Geraden CD. Sei AB die Gerade, in die die Gerade CD bei der parallelen Translation geht, \(\overline(AB)\) der Vektor, in den der Vektor \(\overline(CD)\) bei der
parallelen Translation geht, also die Vektoren \(\ overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) sind gleich, und die Linien AB und CD sind parallel (siehe Abb. 213). Wie wir wissen, ist es möglich, durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, in der Ebene höchstens eine Linie parallel zu der gegebenen zu zeichnen (das Axiom der parallelen Linien). Daher kann man durch den Punkt A eine Linie parallel zur Linie CD ziehen. Da der Vektor \(\overline(AB)\) Teil der Linie AB ist, ist es
möglich, einen Vektor \(\overline(AB)\) durch den Punkt A zu zeichnen, der gleich dem Vektor \(\overline (CD)\).
Frage 8. Was sind Vektorkoordinaten? Wie groß ist der Betrag des Vektors mit den Koordinaten a 1 , a 2 ?
Antworten. Der Vektor \(\overline(a)\) soll am Punkt A 1 (x 1 ; y 1) beginnen und am Punkt A 2 (x 2 ; y 2) enden. Die Koordinaten des Vektors \(\overline(a)\) sind die Zahlen a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Wir setzen die Vektorkoordinaten neben die
Buchstabenbezeichnung des Vektors, in diesem Fall \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) oder einfach nur \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ). Die Nullvektorkoordinaten sind gleich Null.
Aus der Formel, die den Abstand zwischen zwei Punkten in Bezug auf ihre Koordinaten ausdrückt, folgt, dass der Absolutwert des Vektors mit den Koordinaten a 1 , a 2 \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\) ist.
Frage 9. Beweisen Sie, dass gleiche Vektoren jeweils gleiche Koordinaten haben und Vektoren mit jeweils gleichen
Koordinaten gleich sind.
Antworten. Seien A 1 (x 1 ; y 1) und A 2 (x 2 ; y 2) Anfang und Ende des Vektors \(\overline(a)\). Da der ihm gleiche Vektor \(\overline(a")\) aus dem Vektor \(\overline(a)\) durch Parallelverschiebung erhalten wird, sind sein Anfang und sein Ende jeweils A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Dies zeigt, dass beide Vektoren \(\overline(a)\) und \(\overline(a")\) haben dieselben Koordinaten: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Beweisen wir es jetzt
umgekehrte Aussage. Die entsprechenden Koordinaten der Vektoren \(\overline(A 1 A 2 )\) und \(\overline(A" 1 A" 2 )\) seien gleich. Wir beweisen, dass die Vektoren gleich sind.
Seien x" 1 und y" 1 die Koordinaten des Punktes A" 1 und x" 2, y" 2 die Koordinaten des Punktes A" 2. Nach der Bedingung des Satzes x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. Also x "2
= x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Parallelübersetzung durch Formeln gegeben
x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,
überträgt Punkt A 1 zu Punkt A" 1 und Punkt A 2 zu Punkt A" 2 , d. h. die Vektoren \(\overline(A 1 A 2 )\) und \(\overline(A" 1 A" 2 )\) sind wie gefordert gleich.
Frage 10. Definiere die Summe von Vektoren.
Antworten. Die Summe der Vektoren \(\overline(a)\) und \(\overline(b)\) mit den Koordinaten a 1 , a 2 und b 1 , b 2 ist der
Vektor \(\overline(c)\) mit Koordinaten a 1 + b 1 , a 2 + ba 2 , d.h.
\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
Vektor – es ist ein gerichtetes gerades Liniensegment, das heißt ein Segment mit einer bestimmten Länge und einer bestimmten Richtung. Lassen Sie den Punkt ABER ist der Anfang des Vektors und der Punkt B ist sein Ende, dann wird der Vektor mit dem Symbol bezeichnet oder . Der Vektor wird aufgerufen Gegenteil Vektor und kann markiert werden .
Lassen Sie uns einige grundlegende Definitionen formulieren.
Länge oder Modul Vektorwird als Länge des Segments bezeichnet und bezeichnet. Ein Vektor der Länge Null (sein Wesen ist ein Punkt) wird aufgerufen Nullund hat keine Richtung. Vektor Einheitslänge genannt wirdEinzel. Einheitsvektor, dessen Richtung gleich der Richtung des Vektors ist , wird genannt Vektor Vektor .
Die Vektoren werden aufgerufen kollinear, wenn sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen, schreiben Sie. Kollineare Vektoren können gleiche oder entgegengesetzte Richtungen haben. Der Nullvektor wird als kollinear zu jedem Vektor betrachtet.
Vektoren heißen gleichwenn sie kollinear sind, haben sie dieselbe Richtung und dieselbe Länge.
Drei Vektoren im Raum werden aufgerufen koplanar wenn sie in der gleichen Ebene oder auf parallelen Ebenen liegen. Wenn von drei Vektoren mindestens einer null ist oder zwei kollinear sind, dann sind solche Vektoren koplanar.
Betrachten Sie im Raum ein rechtwinkliges Koordinatensystem 0 xyz. Wählen Sie auf den Koordinatenachsen 0 x, 0j, 0z Einheitsvektoren (orts) und bezeichnen sie mitbzw. Wir wählen einen beliebigen Raumvektor und passen seinen Ursprung an den Ursprung an. Wir projizieren den Vektor auf die Koordinatenachsen und bezeichnen die Projektionen mit ein x, ein j, ein z bzw. Dann ist es einfach, das zu zeigen
Diese Formel ist grundlegend in der Vektorrechnung und heißt Erweiterung des Vektors in den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen. Zahlen ein x, ein j, ein z namens Vektorkoordinaten . Die Koordinaten eines Vektors sind also seine Projektionen auf die Koordinatenachsen. Vektorgleichheit (2.25) wird oft geschrieben als
Wir verwenden die Vektorschreibweise in geschweiften Klammern, um visuell zwischen Vektorkoordinaten und Punktkoordinaten zu unterscheiden. Mit der aus der Schulgeometrie bekannten Formel für die Streckenlänge findet man einen Ausdruck zur Berechnung des Betrags des Vektors:
das heißt, der Betrag eines Vektors ist gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten.
Bezeichnen wir die Winkel zwischen dem Vektor und den Koordinatenachsen durch α, β, γ bzw. Kosinus diese Winkel werden für den Vektor genannt Führer, und für sie gilt folgende Beziehung:Die Richtigkeit dieser Gleichheit kann anhand der Eigenschaft der Projektion des Vektors auf die Achse gezeigt werden, die im folgenden Absatz 4 betrachtet wird.
Gegeben seien Vektoren im dreidimensionalen Raummit ihren Koordinaten. An ihnen finden folgende Operationen statt: linear (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einer Zahl und Projektion eines Vektors auf eine Achse oder einen anderen Vektor); nichtlinear - verschiedene Produkte von Vektoren (Skalar, Vektor, gemischt).
1. Zusatz zwei Vektoren ergibt sich koordinatenweise, also wenn
Diese Formel gilt für eine beliebige endliche Anzahl von Termen.
Geometrisch werden zwei Vektoren nach zwei Regeln addiert:
aber) Regel Dreieck- der resultierende Vektor der Summe zweier Vektoren verbindet den Anfang des ersten mit dem Ende des zweiten, vorausgesetzt, dass der Anfang des zweiten mit dem Ende des ersten Vektors zusammenfällt; für die Summe von Vektoren verbindet der resultierende Vektor der Summe den Anfang des ersten von ihnen mit dem Ende des letzten Vektorterms, vorausgesetzt, dass der Anfang des nächsten Terms mit dem Ende des vorherigen zusammenfällt;
B) Regel Parallelogramm(für zwei Vektoren) - ein Parallelogramm wird auf Vektoren-Summen aufgebaut wie auf Seiten, die auf einen Anfang reduziert sind; die von ihrem gemeinsamen Ursprung kommende Diagonale des Parallelogramms ist die Summe der Vektoren.
2. Subtraktion zwei Vektoren werden koordinatenweise erzeugt, ähnlich wie bei der Addition, dh wenn, dann
Geometrisch werden zwei Vektoren gemäß der bereits erwähnten Parallelogrammregel addiert, wobei berücksichtigt wird, dass die Differenz der Vektoren die Diagonale ist, die die Enden der Vektoren verbindet, und der resultierende Vektor vom Ende des Vektors, zu dem subtrahiert wird, gerichtet ist das Ende des reduzierten Vektors.
Eine wichtige Folge der Subtraktion von Vektoren ist die Tatsache, dass, wenn die Koordinaten des Anfangs- und Endes des Vektors bekannt sind, dann Um die Koordinaten eines Vektors zu berechnen, müssen die Koordinaten seines Anfangs von den Koordinaten seines Endes subtrahiert werden. In der Tat jeder Raumvektorlässt sich als Differenz zweier vom Ursprung ausgehender Vektoren darstellen:
3. BeiMultiplikation eines Vektors mit einer Zahl λ koordinativ:
Bei λ> 0 - Vektor Co-Regie ; λ< 0 - Vektor entgegengesetzten Richtung ; | λ|> 1 - Vektorlänge steigt ein λ Einmal;| λ|< 1 - die Länge des Vektors nimmt ab λ Einmal.
4. Gegeben sei eine gerichtete Linie im Raum (die Achse l), Vektordurch die End- und Startkoordinaten gegeben. Bezeichnen Sie die Projektionen von Punkten EIN Und B pro Achse l jeweils durch EIN’ Und B’ .
Projektion Vektor pro Achselheißt die Länge des Vektors, genommen mit dem "+"-Zeichen, wenn der Vektor und Achse lgleichgerichtet, und mit einem "-" Zeichen, wenn Und lentgegengesetzt gerichtet.
Wenn als Achse l nimm einen anderen Vektor, dann erhalten wir die Projektion des Vektors auf Vektor r .
Betrachten wir einige grundlegende Eigenschaften von Projektionen:
1) Vektorprojektion pro Achse lgleich dem Produkt des Betrags des Vektors istdurch den Kosinus des Winkels zwischen dem Vektor und der Achse, das heißt
2.) die Projektion des Vektors auf die Achse ist positiv (negativ), wenn der Vektor mit der Achse einen spitzen (stumpfen) Winkel bildet, und gleich Null, wenn dieser Winkel recht ist;
3) Die Projektion der Summe mehrerer Vektoren auf dieselbe Achse ist gleich der Summe der Projektionen auf dieser Achse.
Lassen Sie uns Definitionen und Theoreme über Produkte von Vektoren formulieren, die nichtlineare Operationen an Vektoren darstellen.
5. Skalarprodukt Vektoren undeine Zahl (Skalar) genannt, die gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels istφ zwischen ihnen, das ist
Offensichtlich ist das Skalarquadrat jedes Nicht-Null-Vektors gleich dem Quadrat seiner Länge, da in diesem Fall der Winkel , also ist sein Kosinus (in 2.27) 1.
Satz 2.2.Notwendig u ausreichender Zustand Die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren ist die Nullgleichheit ihres Skalarprodukts
Folge. Paarweise Skalarprodukte von Einheitsvektoren sind gleich Null, d.h.
Satz 2.3. Skalarprodukt zweier Vektoren, gegeben durch ihre Koordinaten, ist gleich der Summe der Produkte ihrer gleichnamigen Koordinaten, d.h
(2.28)
Mit der Hilfe Skalarprodukt Vektoren können Sie den Winkel berechnenzwischen ihnen. Wenn zwei Nicht-Null-Vektoren mit ihren Koordinaten angegeben sind, dann der Kosinus des Winkelsφ zwischen ihnen:
Dies impliziert die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Vektoren ungleich Null Und :
(2.30)
Finden der Projektion eines Vektorsin die durch den Vektor vorgegebene Richtung , kann gemäß der Formel durchgeführt werden
(2.31)
Unter Verwendung des Skalarprodukts von Vektoren wird die Arbeit einer konstanten Kraft gefundenauf gerader Strecke.
Wir nehmen an, dass unter Einwirkung einer konstanten Kraft materieller Punkt bewegt sich direkt aus der Position ABER in Position B. Kraftvektor bildet einen Winkel φ mit Verschiebungsvektor (Abb. 2.14). Die Physik sagt, dass die Arbeit von einer Kraft verrichtet wird beim Umzug ist gleich .
Daher ist die Arbeit einer konstanten Kraft während einer geradlinigen Verschiebung des Angriffspunkts gleich dem Skalarprodukt des Kraftvektors und des Verschiebungsvektors.
Beispiel 2.9.Ermitteln Sie mit dem Skalarprodukt von Vektoren den Winkel am ScheitelpunktEINParallelogrammA B C D, bauen auf Vektoren
Lösung. Berechnen wir die Module von Vektoren und ihr Skalarprodukt nach Satz (2.3):
Daraus erhält man nach Formel (2.29) den Kosinus des gesuchten Winkels
Beispiel 2.10.Die Kosten für Rohstoffe und Materialressourcen, die zur Herstellung einer Tonne Hüttenkäse verwendet werden, sind in Tabelle 2.2 (Rubel) angegeben.
Wie hoch ist der Gesamtpreis dieser Ressourcen, die für die Herstellung einer Tonne Hüttenkäse aufgewendet werden?
Tabelle 2.2
Lösung. Betrachten wir zwei Vektoren: den Vektor der Ressourcenkosten pro Tonne Produkte und den Vektor des Stückpreises der entsprechenden Ressource .
Dann
Somit betragen die Gesamtproduktionskosten einer Tonne Hüttenkäse 279.541,5 Rubel.
Notiz. Die in Beispiel 2.10 durchgeführten Aktionen mit Vektoren können auf einem Personal Computer durchgeführt werden. Um das Skalarprodukt von Vektoren in MS Excel zu finden, wird die Funktion SUMPRODUCT() verwendet, bei der die Adressen der Bereiche von Matrixelementen, deren Summe der Produkte gefunden werden muss, als Argumente angegeben werden. In MathCAD wird das Skalarprodukt zweier Vektoren mit dem entsprechenden Matrix-Symbolleistenoperator berechnet
Beispiel 2.11. Berechne die von der Kraft verrichtete Arbeit
, wenn sich der Angriffspunkt geradlinig von der Position wegbewegt EIN(2;4;6) zu positionieren EIN(4;2;7). In welchem Winkel zu AB gerichtete Kraft ?Lösung. Wir finden den Verschiebungsvektor, indem wir von den Koordinaten seines Endes subtrahierenStartkoordinaten
Injektion φ zwischen und finden wir nach Formel (2.29), d.h.
6. Drei nicht koplanare Vektoren, in dieser Reihenfolge genommen, Formrichtig drei, wenn vom Ende des dritten Vektors aus gesehenkürzeste Kurve vom ersten Vektorzum zweiten Vektorgegen den Uhrzeigersinn durchgeführt, undlinkswenn im Uhrzeigersinn.
Vektorgrafiken Vektor zu Vektor Vektor genannt , die folgende Bedingungen erfüllen:
– senkrecht zu den Vektoren Und ;
- hat eine Länge gleich
– Vektoren ein rechtes Tripel bilden (Abb. 2.15).
Satz 2.5. Kreuzprodukt von Vektoren, gegeben durch ihre Koordinaten, ist gleich der Determinante dritter Ordnung der Form
Notiz. Bestimmend (2.25) entwickelt nach der Eigenschaft von 7 Determinanten
Folge 1.Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Kollinearität zweier Vektoren ist die Proportionalität ihrer jeweiligen Koordinaten
Folge 2. Vektorprodukte von Einheitsvektoren sind gleich
Folge 3.Das Vektorquadrat jedes Vektors ist Null
Geometrische Deutung Vektorprodukt ist, dass die Länge des resultierenden Vektors numerisch gleich der Fläche ist S ein Parallelogramm, das auf Vektorfaktoren aufgebaut ist, wie auf Seiten, die auf denselben Ursprung reduziert sind. Tatsächlich ist gemäß der Definition der Modul des Kreuzprodukts von Vektoren gleich
Mit dem Kreuzprodukt können Sie auch das Kraftmoment um einen Punkt und linear bestimmen Drehzahl.
An der Stelle lassen EIN angewandte Kraft Loslassen Ö- Irgendein Punkt im Raum (Abb. 2.16). Das ist aus dem Physikstudium bekannt Moment der Kraft relativ zum PunktÖVektor genannt , die durch den Punkt gehtÖund erfüllt die folgenden Bedingungen:
Senkrecht zu der Ebene, die durch die Punkte geht Ö, EIN, B;
Sein Modul ist numerisch gleich dem Produkt aus Kraft und Arm.
- bildet mit Vektoren ein rechtes Tripel Und.
Daher das Moment der Kraft relativ zum PunktÖist ein Vektorprodukt
. (2.34)
Liniengeschwindigkeit Punkte m solide Körper rotiert mit Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse, wird durch die Formel bestimmt Euler, Ö- einige unbeweglich
Achsenpunkt (Abb. 2.17).
Beispiel 2.12. Finde die Fläche eines Dreiecks mit dem Kreuzprodukt ABC, auf Vektoren aufgebautauf denselben Ursprung reduziert.