Was ist der unterschied zwischen zuordnung und funktion

y oder f(x)?

Basiswissen

Was ist der Unterschied zwischen den Themen „Lineare Gleichungen“ und „Lineare Funktionen“? Warum spricht man auch von einer Funktion aber gleichzeitig auch von einer Funktionsgleichung? Und wann schreibt man f(x) und wann schreibt man y? Diese Fragen werden hier kurz behandelt.

Einführung

Gleichungen und Funktionen sind nicht dasselbe, aber ihre Bedeutungen überlappen sich in vielen Themen. Die Unterscheidung stammt oft eher aus der gewünschten und selbst bestimmten Art der Betrachtung und nicht dem rein mathematischen Sachverhalt.

Funktion: f(x)

Von Funktionen spricht man, wenn man eine Variable (meist x) gedanklich in ihrem Wert verändern möchte und dann wissen will, sie sich eine davon abhängige Variable (meist y) mitverändert. Wenn man zum Beispiel gedanklich die Geschwindigkeit einer Marsrakete verändern will (wäre das x) und dann sehen will, sie sich abhängig davon die Reisezeit zum Mars (wäre das y) mitverändert, dann würde man die Reisezeit y als eine Funktion der Raketengeschwindigkeit x betrachten. Für eine mathematische Funktion kommt dann noch hinzu, dass es für einen x-Wert auch wirklich nur genau einen dazugehörigen y-Wert gibt. Das steckt in der Aussage, eine Funktion sei eine eindeutige Zuordnung.

Gleichung: y

Bei einer Gleichung interessiert nicht, wie eine variable Größe von einer anderen abhnängt, sondern es interessieren nur bestimmte konkrete Lösungen oder Lösungsmengen. Wenn man etwa y=4x betrachtet so gibt es bestimmte Paare von x-y-Werten, die eingesetzt bewirken, dass die Gleichung aufgeht (zu einer wahren Aussage wird). y=12 und x=3 wäre eine Lösung. y=20 und x=5 wäre eine andere Lösung. Fasst man die x-y-Paare der Lösungen als Punkte in einem x-y-Koordinatensytem auf, so kann man alle Lösungen der Gleichung oft gut im Koordinatensystem eintragen. Es entsteht also wie bei Funktionen auch ein Graph. Jeder Punkt ist eine Lösung.

f(x) oder y?

f(x) wird immer nur bei Funktionen verwendet. Das kleine y kommt sowohl bei Funktionen als auch bei Gleichungen vor. Empfohlen ist es aber, y nur für Gleichungen und nicht für Funktionen zu verwenden. Zum Grund dafür lies oben.

◦ Gleichungen => y
◦ Funktionen => f(x)

Inhaltsverzeichnis Show

y oder f(x)?
Basiswissen
Einführung
Funktion: f(x)
Gleichung: y
f(x) oder y?
Eindeutigkeit
Zusammenfassung
Fließende Übergänge
Klare Trennung
Ist die Zuordnung eine Funktion?
Was versteht man unter einer Zuordnung?
Wann ist es eine Funktion?

Graphisch

Sowohl Funktionen als auch Lösungsmengen von Gleichungen kann man graphisch darstellen. Bei einer Funktion darf ein x-Wert aber niemals zwei y-Werte haben, bei Gleichungen ist das aber durchaus erlaubt:

◦ Graph einer Gleichung => geometrischer Ort
◦ Graph einer Funktion => Funktionsgraph

Eindeutigkeit

Bei einer Funktion muss es zu jedem x-Wert immer nur genau einen dazugehörigen y-Wert geben. Bei einer Gleichung darf ein x-Wert auch mehrere y-Werte besitzen. Funktionen und Gleichungen sind Zuordnungen. Eine Funktion ist aber eine spezielle Zuordnung, bei der zu einem x-Wert nur genau y-Wert gehört:

◦ Zu jedem x-Wert gibt es beliebig viele y-Werte => Zuordnung
◦ Zu jedem x-Wert gibt es nur genau ein y-Wert => Funktion

Zusammenfassung

◦ Bei Funktionen spricht man von f(x).
◦ Bei Gleichungen spricht man von y.
◦ Bei Funktionen spricht man von Variablen.
◦ Bei Gleichungen spricht man von Unbekannten.
◦ Bei Funktionen heißt das Schaubild Funktionsgraph
◦ Bei Gleichungen heißt das Schaubild Ortslinie
◦ Bei Funktionen darf ein x-Wert nur genau einen f(x)-Wert haben.
◦ Bei Gleichungen darf ein x-Wert mehrere ihm zugeordnete y-Werte haben.
◦ Bei Gleichungen ist selten nach x oder y umgestellt.
◦ Bei Funktionen ist die Gleichung meistens nach f(x) umgestellt.
◦ Bei Gleichungen kann man jederzeit die Seiten vertauschen.
◦ Bei Funktionen macht man das nicht.

Fließende Übergänge

Hat man eine quadratische Funktion, so interessiert vorrangig, was mit den y-Werten passiert, wenn man verschiedene x-Werte einsetzt. Oft gibt man aber bestimmte y-Werte schon vor und will dann wissen, welche x-Werte dazu passen. So gibt man beim Bestimmen der Nullstellen vor, dass y=0 sei und will dann die passenden x-Werte dazu wissen. In diesem Moment geht man von der Sichtweise der Funktion zumindest kurzfristig über in die Sichtweise einer Gleichung. Siehe auch => Funktion

Klare Trennung

Die Lösungsmenge der Gleichung x²+y²=8 ergibt veranschaulicht in einem xy-Koordinatensystem einen Kreis. Man spricht deshalb auch von einer Kreisgleichung. Im Graphen hat dann sinnvollerweise auch fast jeder x-Wert genau y-Werte. Das darf bei einer Funktion nicht der Fall sein, bei einer Gleichung an sich schon. Siehe auch => Kreisgleichung

Mathematik 5. Klasse ‐ Abitur

Eine mathematische Zuordnung (Relation) oder Abbildung heißt eindeutig, wenn jedem Element der Definitionsmenge bzw. des Urbilds X höchstens ein Element der Wertemenge (Zielmenge) bzw. des Abbilds Y zugewiesen wird. Anders ausgedrückt: Kein \(x \in X\) wird zwei (oder mehr) verschiedenen Elementen aus Y zugeordnet.

Eine eindeutige Zuordnung nennt man eine Funktion. Eine Funktion hat also nie zwei verschiedene Funktionswerte zum selben x – darum kann ein Vollkreis nicht der Graph einer Funktion sein, denn dort würden fast jedem x innerhalb des Definitionsbereichs ein oberer und ein unterer Wert zugeordnet.

Achtung: Manchmal wird das Wort „Zuordnung“ auch als ein Synonym von „Funktion“ benutzt.

Bei einer eineindeutigen Zuordnung bzw. Abbildung hat auch jedes Element des Abbilds Y nur ein Element des Urbilds X, das ihm zugeordnet wird. Zu jedem \(x \in X\) gehört genau ein \(y \in Y\) und zu jedem \(y \in Y\) genau ein \(x \in X\). Jede eineindeutige Zuordnung ist auch eindeutig, also eine Funktion. Eineindeutige Funktionen sind umkehrbar. Ein anderer Name für eineindeutig ist bijektiv.

Ist die Zuordnung eine Funktion?

Das besondere an Funktionen ist, dass jedem Element einer Ausgangsmenge genau ein Element einer Zielmenge zuordnet wird. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

Was versteht man unter einer Zuordnung?

Eine Zuordnung in Mathe ordnet einem Wert einen anderen zu. Das heißt, dass die Werte in einem bestimmten Zusammenhang stehen. Zum Beispiel eine Tafel Schokolade und ihr Preis sind zwei Werte, die man einander zuordnen kann. Eine Zuordnung kann beispielsweise proportional oder antiproportional sein.

Wann ist es eine Funktion?

Definition: Was ist eine Funktion? Eine mathematische Funktion bezeichnet die Beziehung zwischen zwei Variablen. Diese zwei Variablen werden einander zugeordnet. Das bedeutet, du weist einen Wert einem anderen zu, weil es zwischen ihnen einen bestimmten Zusammenhang gibt.