Show Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Es wird ein Dividend durch einen Divisor geteilt, das Resultat nennt sich Quotient. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt. Als Rechenzeichen für die Division werden , oder verwendet (Geteiltzeichen). DefinitionUm die Division als die bekannte arithmetische Grundrechenart besprechen zu können, benötigt man eine mathematische Struktur, die zwei Verknüpfungen (Rechenoperationen) kennt, genannt Addition und Multiplikation. Die beiden Verknüpfungen interagieren miteinander nach den Regeln des mathematischen Ringes. Die Multiplikation definiert die Division als die ihr zugehörige Umkehroperation. Als zusätzliche Grundrechenart ist die Addition vorausgesetzt, denn sie definiert bspw. die Null (0) als das ihr zugehörige neutrale Element. Bemerkung Bei den aus der Schule bekannten mathematischen Strukturen der ganze Zahlen der rationalen Zahlen der reellen Zahlen sowie der komplexen Zahlen handelt es sich um mathematische Ringe.Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl (dem bekannten Faktor) eine passende Zahl (den unbekannten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt ergibt: Finde zu gegebenem und ein so, dass . Beschränkt man sich auf ganze Zahlen , so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit). In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reelle Zahlen sowie der komplexen Zahlen , gilt dagegen: Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses . Man schreibt Dabei heißen: Merkhilfen:
EigenschaftenFür die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt .Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben,[1] da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt und .Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt. Bei mehreren aufeinanderfolgenden Divisionen in einer Zeile wird die Reihenfolge von links nach rechts abgearbeitet; die Division ist daher linksassoziativ .Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglichBeispielBeispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person? Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der den Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“. Mathematischer BeweisSei ein
Ring mit Nullelement . Ist der Nullring, besteht also aus dem einzigen Element 0, dann hat die Gleichung die Lösung denn es ist, weil es nichts anderes gibt, und damit wie gefordert. Überdies ist die einzige Lösung. Im Folgenden ist generell angenommen, dass mindestens 2 verschiedene Elemente hat, was bspw. bei einem Körper definitionsgemäß der Fall ist. Gesucht sind zu einem Ringelement Lösungen der Gleichung .
Das bedeutet im Ergebnis, dass Mengen , die bei vorhandener Addition und Multiplikation eine „Division durch null“ in irgendeiner Form (Unendlich, Undefiniert, NaN oder sonst was aus ) kennen, weder Ringe (geschweige denn Körper) sein können, weil die Ringeigenschaften nicht für die Quotienten mit Divisor null – und damit nicht für alle Elemente aus – gelten. Division durch null im ComputerInsbesondere beim spontanen Gebrauch eines Rechengerätes kann es vorkommen, dass durch null dividiert wird. Das Ziel der Implementierungen ist dann,
FestkommaEine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen elektronischen Rechensystemen einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der
verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet, kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen. GleitkommaGeschieht bei einer Gleitkommaoperation ein „Überlauf“, d.h. das Ergebnis ist betragsmäßig zu groß, um dargestellt zu werden, wird es auf eine betragsmäßig sehr große Gleitkommazahl mit der Bedeutung „Unendlich“ bzw. "Minus Unendlich" gesetzt. Auch eine Gleitkommadivision durch null wird vielfach derart behandelt, so z.B. von der sehr verbreiteten Norm IEEE 754. Dabei wird zusätzlich ein Flag gesetzt, so dass die Programmierung einer Ausnahmebehandlung möglich ist. Ist 1 : 0 = ∞?Graph der Funktion . Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Aber
Division mit RestIm Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, es bleibt ein Rest übrig. SchreibweisenEs gibt mehrere Schreibweisen für die Division: oder oder oder Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein. Die Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden. VerallgemeinerungIn der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors. In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten. Siehe auch
Anmerkungen
Basierend auf einem Artikel in: © biancahoegel.de Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.07. 2021 Wie erklärt man einem Kind Division?Unter die erste Ziffer notiert es die Lösung der ersten Geteilt- bzw. Malrechnung (also die 5). Nun zieht Ihr Kind einen Strich unter diese Ziffer und schreibt ein Minuszeichen vor die zweite Zahl. Dann berechnet es schriftlich die Differenz aus den beiden untereinander stehenden Zahlen.
Warum Dividiert man?Schriftliches Dividieren benötigt man vor allem dann, wenn Dividend und Divisor sehr große Zahlen sind, bei denen man nicht so einfach durch Kopfrechnen auf das Ergebnis kommt. Wenn gerade kein Taschenrechner zur Hand ist, kein Problem.
Was ist 3 durch 0?Wenn man Null durch eine beliebige Zahl teilt, erhält man immer Null.
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