Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion annähert, ohne dass sich beide in ihrem Verlauf irgendwo berühren. Betrachten wir eine beliebige gebrochenrationale Funktion: Show $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$ Senkrechte AsymptoteSenkrechte Asymptoten befinden sich, wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen bereits erwähnt haben, an Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. Diese liegt vor, wenn in der Polynomform oder in der faktorisierten Form der gebrochenrationalen Funktion der Nenner gleich null ist, der Zähler jedoch nicht. MerkeHier klicken zum Ausklappen senkrechte Asymptote: $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; n(x) = 0 \; z(x) \neq 0$ Beispiel: senkreche AsymptoteBeispielHier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2+2x-12}{6x^2-12x}$. Bestimme die Polstelle(n)! Wir berechnen die Nennernullstellen und prüfen, ob es sich um eine Polstelle handelt: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ $n(x) = 6x^2 - 12x$ /6 $n(x) = x^2 - 2x$ $x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$ $x_1 = 2$ $x_2 = 0$ Wir setzen $x_1$ und $x_2$ in die Zählerfunktion ein: $z(x_1 = 2) = 0 \Longrightarrow \;$ (hebbare) Definitionslücke $z(x_2 = 0) = -12 \Longrightarrow \;$ Polstelle Bei $x_2 = 0$ liegt eine Polstelle vor. Demnach verläuft die senkrechte Asymptote durch $x = 0$: Die senkrechte Asymptote ist in diesem Fall die $y$-Achse, da diese durch $x = 0$ verläuft. Hier existiert ebenfalls eine waagerechte Asymptote, da der Zählergrad gleich dem Nennergrad. Die Definition der waagerechten Asymptote wird als nächstes betrachtet. Waagerechte AsymptoteFür die Berechnung der waagerechten Asymptote müssen Zähler- und Nennergrad verglichen werden.
MerkeHier klicken zum Ausklappen waagerechte Asymptoten:
MethodeHier klicken zum Ausklappen Ist die waagerechte Asymptote eine Parallele zur $x$-Achse, so beträgt ihr Abstand von der $x$-Achse $\frac{a_n}{b_m}$. Beispiel: waagerechte AsymptoteBeispielHier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{5x^2 + 6x +10}{x^3-4x+8}$. Bestimme bitte die waagerechte Asymptote! Der Zählergrad $x^2$ ist kleiner als der Nennergrad $x^3$, damit ergibt sich: $n < m$. Die $x$-Achse ist demnach die waagerechte Asymptote der Funktion: In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die $x$-Achse die waagerechte Asymptote darstellt. Da hier der Nenner bei $x = -2,65$ den Wert null annimmt (Nullstellen des Nenners mittels Polynomdivision berechnen) und dies eine Polstelle darstellt, ergibt sich hier ebenfalls eine senkrechte Asymptote. BeispielHier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2 + 2x +5}{4x^2-x+6}$. Bestimme bitte die waggerechte Asymptote(n)! Zählergrad und Nennergrad sind gleich, es gilt: $n = m$. Der resultierende Quotient ist demnach der $y$-Wert, durch welchen die waagerechte Asymptote verläuft: $y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Waagerechte Asymptote Schiefe AsymptoteEine schiefe Asymptote ist liegt vor, wenn der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad. MerkeHier klicken zum Ausklappen schiefe Asymptote: Zählergrad = Nennergrad + 1 (n = m + 1) Die Berechnung der schiefen Asymptote wird wie folgt durchgeführt: MethodeHier klicken zum Ausklappen 1. Prüfung der Funktion, ob eine schiefe Asymptote vorliegt 2. Durchführung der Polynomdivision 3. Grenzwertbetrachtung Beispiel: schiefe AsymptoteBeispielHier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - x}$. Bestimme die Gleichung der schiefen Asymptote! Der Zählergrad $3$ ist um eins größer als der Nennergrad $2$. Es gilt demnach $n = m + 1$. Es liegt eine schiefe Asymptote vor. Die Berechnung wird wie folgt durchgeführt: Polynomdivision: Wir führen zunächst die Polynomdivison durch. Dafür dividieren wir den Nenner durch den Zähler: $(x^3 + 0x^2 - 3x + 2) : (x^2 - x) = x + 1 - \frac{2}{x}$ $-(x^3 - x^2)$ _____________ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x^2 - 3x$ $\;\;\;\;\;\;\;\; -(x^2 - x)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;$ ____________ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -2x + 2$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -(-2x + 2)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ ______________ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, 0$ Als nächstes muss das Ergebnis aus der Polynomdivision betrachtet werden. Hierzu betrachten wir den Restbruch $- \frac{2}{x}$. Für diesen müssen wir eine Grenzwertbetrachtung für $x \to \pm \infty$ durchführen: $\lim_{x \to \pm \infty} -\frac{2}{x} = 0$ Je größer die Werte von $x$ werden, desto mehr nähert sich der Bruch dem Wert null an. Der Graph der Funktion strebt also gegen die schiefe Asymptote $y = x + 1$. In der obigen Grafik erkennst du deutlich, dass sich die Funktion an die schiefe Asymptote $y = x + 1$ annähert. Berechnen wir mittels pq-Formel die Nullstellen des Nenners, so erhalten wir $x_1 = 0 \;$ und $\; x_2 = 1$. Das Einsetzen in die Zählerfunktion zeigt uns, dass für $x_2 = 1$ eine Definitionslücke für $f(x)$ vorliegt, da die Zählerfunktion den Wert $2$ annimmt. Für $x_1 = 0$ wird der Zähler $2$, woraus hier eine Polstelle für $f(x)$ resultiert. Guckstu Grafik! Asymptotische KurveEine gebrochenrationale Funktion besitzt eine asymptotische Kurve, wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad. MerkeHier klicken zum Ausklappen asymptotische Kurve: Zählergrad > Nennergrad + 1 (n = m + 1) Das Vorgehen zu deren Berechnung enstpricht dem bei der schiefen Asymptote. Wann ist es eine Polstelle?Eine Polstelle oder Unendlichkeitsstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich laufen. Durch die Polstelle verläuft eine Gerade, an die sich der Funktionsgraph annähert: die Asymptote. Pole betrachtet man vor allem bei gebrochen-rationalen Funktionen.
Wann gibt es keine Polstelle?Polstellen können vor allem bei gebrochenrationalen Funktionen von der Form f(x)=Z(x)N(x) auftreten, und zwar dann, wenn für ein bestimmtes x = x0 das Nennerpolynom N(x) eine Nullstelle hat. Nun muss man unterscheiden: Das Zählerpolynom Z(x) hat bei x0keine Nullstelle.
Wie berechnet man die Polstelle?Strategie um Polstellen zu finden:
Nullstellen des Nenners berechnen. Nullstellen des Zählers berechnen. Die gefundenen Nullstellen gegeneinander kürzen. Verbleibende Nullstellen im Nenner sind Pole.
Was ist der Unterschied zwischen Polstelle und Definitionslücke?Wird der Nenner ungleich null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Wird der Nenner hingegen null, so liegt eine Polstelle vor.
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