In der Analysis wird kaum einem Thema mehr Zeit gewidmet, als der Untersuchung von Funktionen. Das Finden von Extremstellen und Extrempunkten ist dabei ein wichtiger Teil. Aber auch darüber hinaus finden Extrema in vielen wissenschaftlichen Bereichen Anwendung. Diese Anwendungsaufgaben werden Extremwertaufgaben genannt. Show Man unterscheidet zwischen absoluten (auch globalen) Extrema und lokalen Extrema. Meistens wird allerdings nur nach Extremwerten gefragt; eine Unterscheidung ist in der Regel nicht Teil einer Kurvendiskussion. DefinitionAbsolute ExtremaSei f eine Funktion die auf dem Intervall I definiert ist, wobei c ∈ I ist
Die Minima und Maxima (plural Minimum und Maximum) sind Extremwerte (plural Extrema) der Funktion auf dem Intervall. Das Minimum und Maximum einer Funktion in einem Intervall werden auch absolutes Minimum bzw. Maximum oder auch globales Minimum bzw. Maximum auf dem Intervall genannt. Wenn f auf einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat f sowohl ein Minimum als auch ein Maximum auf diesem Intervall. Lokale Extrema
Jedes globale Maximum bzw. Minimum ist auch gleichzeitig ein lokales Maximum bzw. Minimum.  Unsere Funktion f(x) ist auf dem Intervall [a; e] definiert.
Wie man an dem Beispiel auch sehen kann, kann sich eine Extremstelle auch an einer Intervallgrenze befinden. In unserem Beispiel befindet sich das absolute Minimum an der linken Intervallgrenze a. Darüber hinaus kann man auch sehen, dass an den Extrempunkten die Tangente die Steigung 0 hat, also parallel zur x-Achse ist. Extrema finden\( \Large{ \begin{array}{l}\xplain{\text{notwendiges Kriterium}} \\ f^{\prime}(x)=0 \\ \xplain{\text{hinreichendes Kriterium}} \\ f^{\prime\prime}(x)\lessgtr 0 \end{array} } \) Definition Eine Funktion f hat an der Stelle xE eine Extremum, wenn gilt: \( \large{ f^{\prime}(x_E) = 0 \quad\mathrm{und}\quad f^{\prime\prime}(x_E) \lessgtr 0 } \) Dabei handelt es sich um ein Maximum, wenn gilt: \( \large{ f^{\prime}(x_E) = 0 \quad\mathrm{und}\quad f^{\prime\prime}(x_E) < 0 } \) und um ein Minimum wenn gilt: \( \large{ f^{\prime}(x_E) = 0 \quad\mathrm{und}\quad f^{\prime\prime}(x_E) > 0 } \) Um die Extremwerte einer Funktion zu finden, benötigt man die erste und die zweite Ableitung
BeispielFinde alle Extrema der Funktion f(x) = x3 + 3x2 – 1 Zuerst bestimmen wir die erste und zweite Ableitung: f'(x) =3x2 + 6xf“(x) =6x + 6 Als nächstes setzen wir die erste Ableitung gleich Null: f'(x) =0=> x1 =-2x2 =0 Nun setzen wir x1 und x2 in die zweite Ableitung ein, um zu schauen, ob sie größer oder kleiner als Null sind: Was bedeutet es wenn die 2 Ableitung gleich 0 ist?Wenn die 2. Ableitung < 0 ist, heißt das, die Steigung wird kleiner, das ist in diesem Abschnitt der Kurve der Fall, das heißt, da liegt eine Rechtskrümmung vor. Ist die 2. Ableitung > 0, wird die Steigung größer, das ist in diesem Abschnitt der Fall, dann haben wir also eine Linkskrümmung.
Warum Wendepunkt zweite Ableitung Null?Beim Betrachten der Stärke der Steigung hat die Ableitung der Funktion im Wendepunkt einen lokalen Extrempunkt, die zweite Ableitung ist an dieser Stelle also gleich Null. Die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes lautet demnach: f ′ ′ ( x ) = 0 .
Was sagt die 2 Ableitung aus?Die 2. Ableitung gibt die Änderung der Steigung an. Sie gibt also Auskunft über die Krümmung des Graphen. Ist f''(x) > 0, wird die Steigung größer.
Wie setzt man die zweite Ableitung gleich Null?Wenn eine zweimal differenzierbare Funktion f an der Stelle x0 einen Wendepunkt hat, dann ist ihre zweite Ableitung null (f″(x0)=0) und ihre Krümmung verschwindet dort.
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2 ableitung gleich null minimal oder maximalpunkt
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