Inhalt
- Was ist die Innenwinkelsumme von Vielecken?
- Innenwinkelsumme von Vielecken – Herleitung
- Innenwinkelsumme von Vielecken – Beispiele
- Innenwinkelsumme in Vielecken – Zusammenfassung
Was ist die Innenwinkelsumme von Vielecken?
Philgonia Eckstein macht eine Forschungsreise in Polygonien. Dort haben alle Lebewesen die Form von Vielecken. Philgonia möchte heute Spinnennetze erforschen. Dabei kann sie auf ihr Wissen aus dem Matheunterricht zur Innenwinkelsumme von Vielecken zurückgreifen. Ein Vieleck mit $n$ Ecken nennt man auch $n$-Eck.
Für die Berechnung der Innenwinkelsumme eines Vielecks werden alle Innenwinkel des Vielecks zusammengerechnet. Anders gesagt: Es wird berechnet, wie viel Grad alle Innenwinkel zusammen in einem Vieleck haben.
Bei Dreiecken ist die Innenwinkelsumme immer $180^\circ$. Du kannst dir zur Wiederholung Philgonias Forschungserlebnis zu Innenwinkelsummen von Dreiecken anschauen.
Aber wie sieht es aus, wenn wir ein Vieleck mit mehr als drei Ecken betrachten?
Als erstes Beispiel schauen wir uns ein Sechseck an und messen mit einem Geodreieck alle innen liegenden Winkel:
Wir addieren diese Winkel und erhalten als Summe $720^\circ$:
$90^\circ+120^\circ+120^\circ+130^\circ+130^\circ+130^\circ=720^\circ$
Dieses Sechseck kann man in vier Dreiecke aufteilen:
Von Dreiecken wissen wir, dass sie immer eine Innenwinkelsumme von $180^\circ$ haben, deswegen können wir für die Innenwinkelsumme des Sechsecks auch mithilfe der Dreiecke rechnen:
$4\cdot 180^\circ = 720^\circ$
Innenwinkelsumme von Vielecken – Herleitung
Genau so, wie wir es gerade beim Sechseck gesehen haben, können wir jedes beliebige Vieleck in Dreiecke aufteilen. Dazu nehmen wir uns eine beliebige Ecke des Vielecks und verbinden diese mit jeder anderen Ecke des Vielecks, indem wir jeweils eine Strecke einzeichnen. Daraus entstehen jeweils Dreiecke, außer bei der Verbindung mit den benachbarten Ecken. Für das Sechseck von oben wurde die linke untere Ecke durch die hier weiß markierten Strecken mit den anderen Ecken, außer den benachbarten Ecken, verbunden:
Durch jede Verbindungsstrecke wird ein Dreieck abgespalten. Die letzte Strecke, die eingezeichnet wird, teilt das verbleibende Viereck in zwei Dreiecke:
Insgesamt entstehen für das Sechseck vier Dreiecke. Verallgemeinert bedeutet das, es entstehen $(n-2)$ Dreiecke, wenn man ein $n$-Eck wie beschrieben aufteilt. Ein Viereck besteht also aus zwei Dreiecken, ein Fünfeck aus drei Dreiecken und so weiter.
Für die Innenwinkelsumme eines Vielecks mit $n$ Ecken ergibt sich also folgende Formel:
$I=(n-2)\cdot 180^\circ$
Innenwinkelsumme von Vielecken – Beispiele
Wir schauen uns nun beispielhaft noch weitere Vielecke an und bestimmen deren Innenwinkelsumme.
Zunächst nehmen wir uns ein Siebeneck vor und wollen wieder unser Wissen über die Innenwinkelsumme von Dreiecken zu Hilfe nehmen. Deswegen teilen wir das Siebeneck wie folgt in Dreiecke auf:
Das Siebeneck haben wir in sieben Dreiecke unterteilt, die alle eine Ecke in einem gemeinsamen Punkt innerhalb des Siebenecks haben. Wir addieren alle Innenwinkel dieser Dreiecke und erhalten:
$7\cdot 180^\circ = 1260^\circ$
Rechnen wir mit der oben hergeleiteten Formel erhalten wir aber:
$I=(7-2)\cdot 180^\circ = 5\cdot 180^\circ = 900^\circ$.
Was haben wir im ersten Ansatz falsch gemacht? Die Winkel an dem Punkt, in dem die Dreiecke zusammenlaufen, tragen nicht zur Innenwinkelsumme bei. Die Winkel um diesen Punkt haben zusammen $360^\circ$:
Wir müssen also von den $1260^\circ$ noch $360^\circ$ abziehen:
$7\cdot 180^\circ – 360^\circ = 900^\circ$
Nun haben wir dasselbe Ergebnis erhalten, das wir auch mit der Formel berechnet haben.
Als Nächstes schauen wir uns das folgende Fünfeck an:
Können wir die Innenwinkelsumme auch bestimmen, ohne das Fünfeck in Dreiecke zu unterteilen? Hierfür schauen wir einer Spinne zu, die auf den Kanten des Fünfecks krabbelt. Erreicht sie eine Ecke, muss sie eine Drehung um einen Winkel $\beta$ machen, damit sie auf der angrenzenden Kante weiterkrabbeln kann:
Der Winkel $\beta$ und der angrenzende Innenwinkel $\alpha$ ergeben zusammen einen Winkel von $180^\circ$.
Diese Winkelpaare gibt es in jeder der fünf Ecken:
Es gibt also fünf Winkelpaare von jeweils $180^\circ$:
$\alpha_1+\beta_1 = 180^\circ; ~ \alpha_2+\beta_2 = 180^\circ; ~ \alpha_3+\beta_3 = 180^\circ; ~ \alpha_4+\beta_4 = 180^\circ; ~ \alpha_5+\beta_5 = 180^\circ$
Wenn die Spinne das ganze Fünfeck umrundet, hat sie sich auf ihrem Weg also um die fünf Winkel $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$, $\beta_4$ und $\beta_5$ gedreht. Außerdem schaut sie am Ende ihres Wegs wieder in die gleiche Richtung wie am Anfang, sie hat sich also insgesamt um $360^\circ$ gedreht. Daraus ergibt sich Folgendes:
$\beta_1+\beta_2+\beta_3+\beta_4+\beta_5 = 360^\circ$
Nun bringen wir diese beiden Überlegungen zusammen: Die Summe der Winkelpaare ergibt $180^\circ$, ausgeschrieben ist das:
$\alpha_1+\beta_1 + \alpha_2+\beta_2 + \alpha_3+\beta_3+\alpha_4+\beta_4 +\alpha_5+\beta_5 = 5\cdot 180^\circ$
Auf der linken Seite dieser Gleichung können wir umsortieren:
$\alpha_1+ \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5+\beta_1 +\beta_2+\beta_3+\beta_4 +\beta_5 = 5\cdot 180^\circ$
Die Summe aller $\alpha$-Winkel ist unsere gesuchte Innenwinkelsumme $I$. Die Summe aller $\beta$-Winkel haben wir oben schon berechnet. Das können wir einsetzen:
$I+360^\circ = 5\cdot 180^\circ$
Diesen Term können wir umstellen, indem wir $360^\circ$ subtrahieren und erhalten:
$I = 5\cdot 180^\circ - 360^\circ = 5\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 3\cdot 180^\circ =540^\circ$
Auch für die Innenwinkelsumme dieses Fünfecks hat sich die Formel bestätigt, die wir bereits kennen. Wir haben nun drei verschiedene Erklärungen für die Berechnung der Innenwinkelsumme von Vielecken gesehen.
Innenwinkelsumme in Vielecken – Zusammenfassung
Die Formel, um zu bestimmen, wie groß die Innenwinkelsumme in einem n-Eck, oder Vieleck, ist, lautet:
$I=(n-2)\cdot 180^\circ$
Diese Formel kannst du nutzen, wenn du Aufgaben zur Bestimmung der Innenwinkelsumme von Vielecken lösen sollst. Für die folgenden n-Ecke ergeben sich die Innenwinkelsummen:
| n-Eck | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Innenwinkelsumme | $180^\circ$ | $360^\circ$ | $540^\circ$ | $720^\circ$ | $900^\circ$ |