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| Ähnliche Matrizen: Frage (beantwortet)
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Diese Frage habe ich in keinem anderem Forum bereits gestellt. Hi Leute, laut meiner Vorlesung gilt: Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselbe Determinante, Spur und dieselben Eigenwerte. Was ist mit dem Umkehrschluß? Meiner Meinung nach müsste der falsch sein. Zwei Matrizen mit dem gleichen charakteristischen Polynom, den gleichen Eigenwerten, der gleichen Spur und derselben
Determinante müssen nicht unbedingt ähnlich zu einander sein. Richtig??? Tausend Dank für eure Hilfe. Martin
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| Ähnliche Matrizen: Antwort
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| Status:
| (Antwort) fertig
| | Datum:
| 16:51 Mi 06.10.2004
| | Autor:
| Julius
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Hallo Professor! Das ist absolut richtig! Zwei Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben, müssen nicht ähnlich zueinander sein. Es gilt sogar: Zwei Matrizen, die das gleiche Minimalpolynom haben, müssen nicht ähnlich zueinander sein.
Man kann anhand des Minimalpolynoms alleine i.A. keine eindeutige Aussage über die Jordansche Normalform (und damit die Ähnlichkeitsklasse (=Konjugationsklasse)) machen.
Liebe Grüße
Julius
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| Ähnliche Matrizen: Julius & Lars
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Hallo Julius, hallo Lars, tausend Dank, dass ihr meine Vermutung bestätigt habt und ich gegenüber meinen Studienkollegen recht hatte. Damit geht man mit viel mehr Selbstvertrauen in die Prüfung am Montag. Nun kommt aber eine neue Frage von mir auf. Minimalpolynom, hatte wir in unserer lin. Algebra II Vorlesung nicht. Leider, denn anscheinend ist dies eine Elementare Sache. Aufgrund dieses Forums weiß ich, dass es das
charakteristische Polynom ist mit der geometrischen VFH als Potenz. Irgendwie, habe ich das Gefühl, die ganze Ähnlichkeitssache läuft hauptsächlich über diese Jordansche Normalform. Ich weiß, dass in der Jordanschen Normalform die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen stehen. Doch wie lassen sich die Blöcke berechnen??? Außerdem weiß ich auch nicht so ganz, was die Jordansche Normalform aussagt, ich meine, welche Rolle spielt sie im Zusammenhang mit der Ähnlichkeit???
Vielleicht, könnte mir jemand BITTE eine Antwort auf diese beiden Fragen geben. Tausend Dank schon mal im Voraus!!! MfG
Martin
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| Ähnliche Matrizen: Julius & Lars
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| Status:
| (Antwort) fertig
| | Datum:
| 17:56 Mi 06.10.2004
| | Autor:
| Julius
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Hallo Professor! Der Satz von der Jordanschen Normalform und auch der Algorithmus zu dessen Bestimmung gehören zu dem Schwierigsten dessen, was man in der Linearen Algebra im Studium lernt. Wir können das an dieser Stelle nicht leisten, das würde schlicht den Rahmen sprengen. Vielleicht erklärt sich ja mal jemand bereit einen Artikel darüber zu schreiben. So lange müssen wir uns noch bei der "Konkurrenz"
bedienen: Artikel im Matheplaneten. Andere Darstellungen findest du in fast jedem LA-Skript, etwa
hier. Auf jeden Fall musst du dir die Theorie selber im stillen Kämmerlein beibringen. Rechenbeispiele findest du
hier oder
hier oder bestimmt auch bei uns im Forum, wenn du in der Suchhilfe "Jordansche Normalform" eingibst. Jetzt zu dem Ähnlichkeitsproblem: Die Jordansche Normalform ist der "einfachste Vertreter" in jeder
Ähnlichkeitsklasse. Je zwei Matrizen mit der gleichen Jordanschen Normalform sind ähnlich zueinander, und zwei ähnliche Matrizen haben die gleiche Jordansche Normalform. Nur alleine mit dem Minimalpolynom kann man häufig, aber nicht immer die Jordansche Normalform bestimmen. Vielleicht gibt ja Lars noch ein oder zwei Beispiele, wo man die Jordansche Normalform sofort erkennen kann? Dann hätten wir uns die Arbeit fair geteilt.
Liebe Grüße
Julius
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| Ähnliche Matrizen: Julius & Lars
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| Status:
| (Antwort) fertig
| | Datum:
| 10:56 Do 07.10.2004
| | Autor:
| Julius
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Hallo Professor! Okay, dann ergänze ich eben noch ein Beispiel aus meiner Forenvergangenheit (ich war mir nicht mehr sicher, ob ich es geschrieben hatte ): Beispiel Liebe
Grüße
Julius
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| Ähnliche Matrizen: Mitteilung
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| Status:
| (Mitteilung) Reaktion unnötig
| | Datum:
| 17:05 Mi 06.10.2004
| | Autor:
| Gnometech
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Grüße! Um Deine Vermutung zu untermauern, ein Beispiel: und
. Die beiden MAtrizen sind natürlich nicht ähnlich, da die einzige Matrix, die ähnlich zur Nullmatrix ist, die Nullmatrix selbst sein kann (wenn der Schluß nicht klar ist - nachfragen!). Allerdings
haben beide Matrizen Spur 0, Determinante 0, 0 als einzigen Eigenwert und das gleiche charakteristische Polynom . Sie haben allerdings nicht das gleiche Minimalpolynom... Trotzdem erlaubt auch das noch keinen Rückschluß auf
die Ähnlichkeit, wie Julius schon bemerkte. Lars
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Was gilt für ähnliche Matrizen?
\medskip Es gilt: Ähnliche Matrizen haben die gleichen Eigenwerte. Die quadratischen Matrizen {\bf A} und {\bf B} heißen ähnlich, wenn eine reguläre Matrix {\bf C} existiert mit CB=A⋅C C B = A ⋅ C bzw. B=C−1A⋅C.
Sind ähnliche Matrizen äquivalent?
Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.
Haben ähnliche Matrizen die gleiche Determinante?
Laut Wikipedia: Ähnliche Matrizen besitzen dieselben Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren). Daraus folgt, dass sie den gleichen Rang, die gleiche Determinante, die gleiche Spur, das gleiche charakteristische Polynom, das gleiche Minimalpolynom und die gleiche Jordansche Normalform haben.
Was sagt die Spur einer Matrix aus?
Die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit). Für diagonalisierbare Matrizen sind algebraische Vielfachheit und geometrische Vielfachheit identisch, so dass die Vielfachheit eines Eigenwertes der Anzahl seiner zugehörigen (linear unabhängigen) Eigenvektoren entspricht.